第二节可分离变量的微分方程教学目的：熟练掌握可分离变量的微分方程、齐次微分方程的解法教学重点：可分离变量方程与齐次方程的解法教学难点：可分离变量方程与齐次方程的解法教学内容：本节开始，我们讨论一阶微分方程y'= f(x,y)(1)的一些解法一阶微分方程有时也写成如下的对称形式P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0(2)在方程(2)中变量X与V对称它既可以看作是以为X自变量、V为未知函数的方程dy-_P(x,y)dxQ(x,y)(Q(x,y) + 0)也可看作是以X为自变量、为未知函数的方程dx --(x,y)dyP(x,y)(P(x,y) + 0)在第一节的例1中，我们遇到一阶微分方程dy=2xdxdy = 2xdx或把上式两端积分就得到这个方程的通解：y=x?+C.但是并不是所有的一阶微分方程都能这样求解。例如，对于一阶微分方程d = 2xy2dx(3)就不能像上面那样直接两端用积分的方法求出它的通解。原因是方程（3）的右端含有未知函数积分[2xy°dxdx求不出来。为我解决这个困难，在方程（3）的两端同时乘以，使方程（3）变为
第二节 可分离变量的微分方程 教学目的：熟练掌握可分离变量的微分方程、齐次微分方程的解法. 教学重点：可分离变量方程与齐次方程的解法. 教学难点：可分离变量方程与齐次方程的解法. 教学内容： 本节开始,我们讨论一阶微分方程 y'= f (x, y) (1) 的一些解法. 一阶微分方程有时也写成如下的对称形式: P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0 (2) 在方程(2)中,变量 x 与 y 对称,它既可以看作是以为 x 自变量、 y 为未知函数的方程 ( , ) ( , ) Q x y P x y dx dy = − (Q(x, y) ≠ 0), 也可看作是以 x 为自变量、 y 为未知函数的方程 ( , ) ( , ) P x y Q x y dy dx = − (P(x, y) ≠ 0) , 在第一节的例 1 中，我们遇到一阶微分方程 x dx dy = 2 ， 或 dy = 2xdx. 把上式两端积分就得到这个方程的通解： y = x + C 2 。 但是并不是所有的一阶微分方程都能这样求解。例如，对于一阶微分方程 2 2xy dx dy = （3） 就不能像上面那样直接两端用积分的方法求出它的通解。原因是方程（3）的右端含有未知 函数 y 积分 ∫ xy dx 2 2 求不出来。为我解决这个困难，在方程（3）的两端同时乘以 2 y dx ，使方程（3）变为
=2xdxy?3这样，变量X与V已分离在等式的两端，然后两端积分得1=x+Cy1y=x?+C或(4)其中C是任意常数。可以验证，函数（4）确实满足一阶微分方程（3），且含有一个任意常数，所以它是方程（3）的通解。一般地，如果一个一阶微分方程能写成g(y)dy= f(x)dx(5)的形式，就是说，能把微分方程写成一端只含y的函数和dy，另一端只含x的函数和dx，那么原方程就称为可分离变量的微分方程。假定方程（5)中的函数g(y)和f(x)是连续的，设=p(x)是方程的解，将它代入（5)中得到恒等式g[p(x)]p'(x)dx = f(x)dx将上式两端积分，并由J=((x)引进变量V，得[g(y)dy = J f(x)dx设G(y)及F(x)依次为g(y)和f(x)的原函数，于是有G(y) = F(x)+C(6)因此，方程（5）满足关系式（6)。反之，如果J=Φ(x)是由关系到式（6）所确定的隐函数，那么在g(y)≠0的条件下，J=Φ(x)也是方程（5）的解。事实上，由隐函数的求导法可知，当g(y)0时，F'(x)- f(x)Φ(x)= -G'(y)g(y)这就表示函数=Φ(x)满足方程（5)。所以如果已分离变量的方程（5）中g(y)和F(x)是连续的，且g(y)≠0，那么（5）式两端积分后得到的关系式（6)，就用隐式给出了方程（5）的解，（6）式就叫做微分方程（5）的隐式解。又由于关系式（6）中含有任意常数，因此（6）式所确定的隐函数是方程（5）的通解，所以（6）式叫做微分方程（5）的隐式通解。例1求微分方程
xdx y dy 2 2 = ， 这样，变量 x 与 y 已分离在等式的两端，然后两端积分得 x C y − = + 1 2 或 x C y + = − 2 1 （4） 其中 C 是任意常数。 可以验证，函数（4）确实满足一阶微分方程（3），且含有一个任意常数，所以它是方 程（3）的通解。 一般地，如果一个一阶微分方程能写成 g( y)dy = f (x)dx （5） 的形式，就是说，能把微分方程写成一端只含 y 的函数和 dy ，另一端只含 x 的函数和 dx， 那么原方程就称为可分离变量的微分方程。 假定方程（5）中的函数 g( y) 和 f (x) 是连续的，设 y = ϕ(x) 是方程的解，将它代入（5） 中得到恒等式 g[ϕ(x)]ϕ'(x)dx = f (x)dx. 将上式两端积分，并由 y = ϕ(x) 引进变量 y ，得 ∫ ∫ g( y)dy = f (x)dx 设G( y) 及 F(x) 依次为 g( y) 和 f (x) 的原函数，于是有 G( y) = F(x) + C （6） 因此，方程（5）满足关系式（6）。反之，如果 y = Φ(x)是由关系到式（6）所确定的隐函 数 ，那么在 g( y) ≠ 0的条件下， y = Φ(x)也是方程（5）的解。事实上，由隐函数的求导 法可知，当 g( y) ≠ 0时， , ( ) ( ) '( ) '( ) '( ) g y f x G y F x Φ x = = 这就表示函数 y = Φ(x)满足方程（5）。所以如果已分离变量的方程（5）中 g( y) 和 f (x) 是 连续的，且 g( y) ≠ 0，那么（5）式两端积分后得到的关系式（6），就用隐式给出了方程（5） 的解，（6）式就叫做微分方程（5）的隐式解。又由于关系式（6）中含有任意常数，因此（6） 式所确定的隐函数是方程（5）的通解，所以（6）式叫做微分方程（5）的隐式通解。 例 1 求微分方程
dy =2xydx(7)的通解。解方程（7）是可分离变量的，分离变量后得dy =2xdxCy2xdx两端积分Iny=x? +Cj,得y=ter+Ci =teCier从而又因为土e仍是任意常数，把它记作C便得到方程（7）的通解y=Cert例2放射性元素铀由于不断地有原子放射出微粒子而变成其它元素，铀的含量就不断减少，这种现象叫做衰变。由原子物理学知道，铀的误变速度与当时未衰变的原子的含量M成正比。已知t=0时铀的含量为M。，求在衰变过程中含量M()随时间变化的规律。dM解铀的衰变速度就是M(t)对时间t的导数dt。由于铀的衰变速度与其含量成正比，得到微分方程如下dM=-^M,dt(8)其中(>0)是常数，叫做衰变系数。几前的负号是指由于当1增加时M单调减少，即dM<0dt的缘故。由题易知，初始条件为M It=0= M。方程（8）是可以分离变量的，分离后得dM=-AdtMrdM[(-a)dtM两端积分以lnC表示任意常数，因为M>0，得InM=-At+InC
xy dx dy = 2 （7） 的通解。 解 方程（7）是可分离变量的，分离变量后得 xdx y dy = 2 两端积分 2 , ∫ ∫ = xdx y dy 得 ln , 1 2 y = x + C 从而 2 1 1 2 x C C x y = ±e = ±e e + 。 又因为 C1 ±e 仍是任意常数，把它记作 C 便得到方程（7）的通解 2 x y = Ce 。 例 2 放射性元素铀由于不断地有原子放射出微粒子而变成其它元素，铀的含量就不断 减少，这种现象叫做衰变。由原子物理学知道，铀的误变速度与当时未衰变的原子的含量 M 成正比。已知t = 0 时铀的含量为 M0，求在衰变过程中含量 M (t) 随时间变化的规律。 解 铀的衰变速度就是 M (t) 对时间t 的导数 dt dM 。由于铀的衰变速度与其含量成正 比，得到微分方程如下 M , dt dM = −λ （8） 其中 λ(λ > 0) 是常数，叫做衰变系数。 λ 前的负号是指由于当t 增加时 M 单调减少，即 < 0 dt dM 的缘故。 由题易知，初始条件为 0 0 M | t= = M 方程（8）是可以分离变量的，分离后得 dt. M dM = −λ 两端积分 ( ) . ∫ ∫ = − dt M dM λ 以lnC 表示任意常数，因为 M > 0，得 ln M = −λt + lnC
M=Ce-n即是方程（8）的通解。以初始条件代入上式，解得M。=Ce°=CM=Moe-u故得由此可见，铀的含量随时间的增加而按指数规律衰落减
即 . t M Ce −λ = 是方程（8）的通解。以初始条件代入上式，解得 M Ce C o 0 = = 故得 . 0 t M M e −λ = 由此可见，铀的含量随时间的增加而按指数规律衰落减
第三节市齐次方程、齐次方程如果一阶微分方程y'= f(x,y)Y(x, )=0()中的函数f(x,y)可写成x的函数，即x则称这方程为齐次方程。例如(x+y)dx+(y-x)dy=0是齐次方程，因为其可化为1+之dy_x+y--x1之dxx-yx解法：f(x,y) =p(-(1)u=x，则y=ux，于是作代换=x+udx"dxdu+u=p(u)从而dxdu_p(u)-udxxdudxp(u)-uX分离变量得durdxp(u)-ux两端积分得y求出积分后，再用x代替u，便得所给齐次方程的通解。如上例du1 +u+u=xdx1-u
第三节 齐次方程 一、齐次方程 如果一阶微分方程 y'= f (x, y) 中的函数 f (x, y) 可写成 x y 的函数，即 ( , ) ( ) x y f x y = ϕ ，则称这方程为齐次方程。例如 (x + y)dx + ( y − x)dy = 0 是齐次方程，因为其可化为 . 1 1 x y x y x y x y dx dy − + = − + = 解法： ( , ) ( ) x y f x y = ϕ （1） 作代换 x y u = ，则 y = ux ，于是 u. dx du x dx dy = + 从而 u (u) dx du x + = ϕ ， x u u dx du − = ϕ( ) ， 分离变量得 x dx u u du = ϕ( ) − 两端积分得 ∫ ∫ = − x dx u u du ϕ( ) 求出积分后，再用 x y 代替u ，便得所给齐次方程的通解。如上例 u u u dx du x − + + = 1 1