线性代数教程第0505节三次型及其标准型 2346 第五节二次型及其标准型 一、二次型及其标准形的概念 二、二次型的表示方法 三、二次型的矩阵及秩 四、化二次型为标准形 五、小结思考题 线性代数小组 第1页
线性代数教程 线性代数小组 第0505节 二次型及其标准型 23:46 第1页 第五节 二次型及其标准型 一、二次型及其标准形的概念 二、二次型的表示方法 三、二次型的矩阵及秩 四、化二次型为标准形 五、小结 思考题
线性代数教程第0505节三次型及其标准型 2346 一、二次型及其标准形的概念 定义1含有n个变量x1,x2,x的二次齐次函数 f(x2x)=auxi+axi++amxi +2012X1x2+2a13x1x3++20n-,nxn-xn 称为二次型 当a是复数时，f称为复二次型； 当，是实数时，称为实二次型 线性代数小组 第2项
线性代数教程 线性代数小组 第0505节 二次型及其标准型 23:46 第2页 一、二次型及其标准形的概念 ( ) n n n n n nn n a x x a x x a x x f x x x a x a x a x 1 2 1 2 1 3 1 3 1, 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 1 2 2 2 , , , + + + + − − = + + + 称为二次型. 定 义1 含 有n个变量x1 , x2 , , xn的二次齐次函数 当a 是复数时, f称为 ; ij 复二次型 当a 是实数时, f称为 . ij 实二次型
线性代数教程第0505节三次型及其标准型 23:46 只含有平方项的二次型 ∫=k+k2+.+ky房 称为二次型的标准形（或法式）. 例如 f(x,x2,x3)=2x+4x+5x3-4xy, f(x1,x2,x3)=xx2+x13+x2x 都为二次型， fx,x2,x3)=x2+4x+4x 为二次型的标准形 线性代数小组 第3页
线性代数教程 线性代数小组 第0505节 二次型及其标准型 23:46 第3页 只含有平方项的二次型 2 2 2 2 2 1 1 n n f = k y + k y ++ k y 称为二次型的标准形（或法式）． 例如 ( ) 1 3 2 3 2 2 2 1 2 3 1 f x , x , x = 2x + 4x + 5x − 4x x 都为二次型； ( ) 2 3 2 2 2 1 2 3 1 f x , x , x = x + 4x + 4x 为二次型的标准形. ( ) 1 2 3 1 2 1 3 2 3 f x , x , x = x x + x x + x x
线性代数教程第0505节一次型及其标准型 2346 二、二次型的表示方法 1.用和号表示 对二次型 f(c1,x2,xn)=411+a2x+.+mx +2012x1x2+2013x1x3+.+20m-,mxn-x 取ar=a,则2xxj=agxixj+ajixjx,于是 f=aux1+a2xx2++auxxn +L21x21+022x2+.+02mx2xn +.+0 m1XnX1+a2xnx2+.+amx} = ∑agxixj ,j= 线性代数小组 第4项
线性代数教程 线性代数小组 第0505节 二次型及其标准型 23:46 第4页 1．用和号表示 ( ) n n n n n nn n a x x a x x a x x f x x x a x a x a x 1 2 1 2 1 3 1 3 1, 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 1 2 2 2 , , , + + + + − − = + + + 对二次型 a a , 取 ji = ij 2a x x a x x a x x , 则 ij i j = ij i j + ji j i 于是 a x a x x a n x xn f 12 1 2 1 1 2 = 11 1 + ++ . , 1 a xi x j n i j = ij = a x x a x a2n x2 xn 2 + 21 2 1 + 22 2 ++ + 2 + an1 xn x1 + an2 xn x2 ++ ann xn 二、二次型的表示方法
线性代数教程第0505节三次型及其标准型 23:46 2.用矩阵表示 f=011x1+412x1x2+.+41Xxn +021x2x1+022x2+.+02mx2xm ++anxnx1+an2xnx2++amxz =x1(411x1+412x2+.+01mxn) +x2(a21x1+422x2+.+a2nxn) ++xn(anlx+an2x2++anxn) 11x1+a12X2+.+01mx a21X1+022x2+.+2nXm =（X1)X2,Xn 。 anlx1+0n22+.+amxn 线性代数小组 笔5页
线性代数教程 线性代数小组 第0505节 二次型及其标准型 23:46 第5页 2．用矩阵表示 a x a x x a n x xn f 12 1 2 1 1 2 = 11 1 + ++ a x x a x a2n x2 xn 2 + 21 2 1 + 22 2 ++ + 2 + an1 xn x1 + an2 xn x2 ++ ann xn ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 2 1 n n n nn n n n n n x a x a x a x x a x a x a x x a x a x a x + + + + + + + + + = + + + + + + + + + + + + = n n nn n n n n n n a x a x a x a x a x a x a x a x a x x x x 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 2 ( , , , )