二、曲线的凹凸与拐点定义.设函数f(x)在区间I上连续，,Vxi,x2 EIf(xi)+ f(x2)则称f(x)的若恒有1(1)2图形是凹的;f(xD+f(x)十X若恒有f(则称f(x)的(2)22图形是凸的连续曲线上有切线的凹凸分界点称为拐点XHIGH EDUCATION PRESS下页返回结束机动目录上页
A B 定义 . 设函数 在区间 I 上连续 , (1) 若恒有 则称 图形是凹的; (2) 若恒有 则称 连续曲线上有切线的凹凸分界点 称为拐点 . 图形是凸的 . y o x1 x2 x 2 1 2 x +x y o x1 x 2 1 2 x +x 2 x y o x 二、曲线的凹凸与拐点 机动 目录 上页 下页 返回 结束
设函数f(x)在区间I上有二阶导数定理2.（凹凸判定法）(1)在I内f"(x)>0,则f(x)在I内图形是凹的；(2)在I内 f"(x)<0,则f(x)在I内图形是凸的.证：Vxi,x2E I,利用一阶泰勒公式可得+xT1f(x)= f(+2)f(x2)= f(+x两式相加f(x)+ f(x2)=2f(i(_)~[f"(5)+ f"(≤2)]f(xi)+f(x2)X当f"(x)>0时f说明（1）成立2证毕(2)HIGHEDUCATIONPRESS目录上页下页返回结束机动
定理2.(凹凸判定法) (1) 在 I 内 则 在 I 内图形是凹的 ; (2) 在 I 内 则 在 I 内图形是凸的 . + − 证: 利用一阶泰勒公式可得 ( ) ( ) 1 f x = f 2 1 2 x + x 2! ( ) 1 f + 2 1 (x − ) 2 1 2 x + x ( ) ( ) 2 f x = f 2 1 2 x + x + f ( ) 2 1 2 x + x ( ) x2 − 2 1 2 x + x 2! ( ) 2 f + 2 2 (x − ) 2 1 2 x + x 两式相加 ( ) ( ) 2 ( ) 1 2 f x + f x = f 2 1 2 x + x 2 2! 2 1 ( ) 2 1 x −x + [ ( ) ( )] 1 2 f + f 当f (x) 0时, ( ), 2 ( ) ( ) 1 2 f f x f x + 2 1 2 x + x 说明 (1) 成立; (2) + f ( ) 2 1 2 x + x ( ) 1 x 2 1 2 x + x 机动 目录 上页 下页 返回 结束 设函数 在区间I 上有二阶导数 证毕