第一节、n阶行列式的定义 阶行列式:a1=a1 如,行列式_5=-5,3=3 二阶行列式:1 12 1122 1221 21 2 如,3 -6+3=-3 3 阶行列式:a1a2a3=a12n3+an2n1+a1a1a2 142332-a124213-413231
一阶行列式： a11 = a11 如，行列式 − 5 = −5， 3 = 3 二阶行列式： 11 22 12 21 21 22 11 12 a a a a a a a a = − 6 3 3 3 3 2 1 = − + = − − − 如， 三阶行列式： 1 1 2 3 3 2 1 2 2 1 3 3 1 3 2 2 3 1 1 1 2 2 3 3 1 2 2 3 3 1 1 3 2 1 3 2 3 1 3 2 3 3 2 1 2 2 2 3 1 1 1 2 1 3 a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a − − − = + + 第一节、 n阶行列式的定义 返 回 第 三 章
阶行列式计算式的记忆法 例如042=8+6+4=18 2全排列及其奇性 引例把3个不同的数字1、2、3排成一列,共有多少种 排法? 显然,左边位置上可以从1、2、3三个数字中任选一个 ,所以有三种放法;中间位置上只能从剩下的两个数字 中选一个,所以有2种放法;右边位置上只能放最后剩 下的一个数字,所以只有1种放法 因此共有3×2×1=6种放法.这6种不同的排法是123, 231,312,132,213,321
三阶行列式计算式的记忆法 8 6 4 18 1 0 2 0 4 2 1 3 1 = + + = − − 例如 2.全排列及其奇性 引例 把3个不同的数字1、2、3排成一列，共有多少种 排法？ 显然，左边位置上可以从1、2、3三个数字中任选一个 ，所以有三种放法；中间位置上只能从剩下的两个数字 中选一个，所以有2种放法；右边位置上只能放最后剩 下的一个数字，所以只有1种放法． 因此共有3×2×1=6种放法.这6种不同的排法是123， 231，312，132，213，321
对于n个不同的元素,也可以提出类似的问题,把n个不 同的元素排列成一列,共有几种不同的排法? 把n个不同的元素排成一列,叫做这n个元素的全排列 (简称排列).一般,n个自然数1,2,,n的一个排列可以记 作 其中∵是某种次序下的自然数1,2,…,n.n个不同元素的所有 排列的种数,通常用P表示.由引例结果可知 B3=3.2.1 仿照引例的推导方式我们容易得到 n=n(n-1)…3·21=n! 对于n个不同的元素,先规定各元素间有一个标准次序 (例如n个不同的自然数,可规定自小到大为标准次序;此时 对应的排列称作自然排列),于是在这n个元素的任意排列中 当某两个元素的先后次序与标准次序不同时,就说有一个逆序 个排列中所有逆序的总数称为这个排列的逆序数,记 作
对于n个不同的元素，也可以提出类似的问题，把n个不 同的元 素排列成一列，共有几种不同的排法？ 把n个不同的元素排成一列，叫做这n个元素的全排列 （简称排 列）．一般,n个自然数1,2,…,n的一个排列可以记 作 n i i i 1 2 其中 是某种次序下的自然数 .n个不同元素的所有 排列的种数，通常用 表示.由引例结果可知 n i i i 1 2 1,2, ,n Pn P3 = 3 21 仿照引例的推导方式我们容易得到 P n n n n = ( −1)3 21 = 对于n个不同的元素，先规定各元素间有一个标准次序 （例如n个不同的自然数，可规定自小到大为标准次序；此时， 对应的排列称作自然排列），于是在这n个元素的任意排列中， 当某两个元素的先后次序与标准次序不同时，就说有一个逆序. 一个排列 中所有逆序的总数称为这个排列的逆序数，记 作 n i i i 1 2 ！．
逆序数为奇数的排列称为奇排列,逆序数为偶数的排列称为 偶排列 下面我们通过一个例子,介绍利用排列的交叉图来计算排列 的逆序数的方法 例1排列83265147是偶排列还是奇排列? 解把自然排列12345678及排列83265147的元素分别排 成平行的两行,连接上下两行所有相同元素(要避免出现三 条连线相交于一点的情况),得到排列的交叉图.那么,交叉 图中交点的个数就是排列的逆序数 47
( ) 1 2 n t i i i 逆序数为奇数的排列称为奇排列，逆序数为偶数的排列称为 偶排列. 下面我们通过一个例子，介绍利用排列的交叉图来计算排列 的逆序数的方法. 例1 排列83265147是偶排列还是奇排列？ 解 把自然排列12345678及排列83265147的元素分别排 成平行的两行，连接上下两行所有相同元素（要避免出现三 条连线相交于一点的情况），得到排列的交叉图.那么，交叉 图中交点的个数就是排列的逆序数. 1 2 3 4 5 6 7 8 8 3 2 6 5 1 4 7
由于图中有15个交点,t(83265147)=15.所以,83265147是奇 排列 在排列中,将任意两个元素交换位置其余的元素不动得到新 排列的变换称为对换.将相邻两个元素对换,称为相邻对换 从排列的交叉图可以看出,相邻对换使排列的逆序数增加1或 者减少1.由于任意对换可以通过奇数次相邻对换来实现,所以 对换改变排列的奇偶性,即对换使奇排列变为偶排列,偶排列 变为奇排列 从而,当n1时,n个元素12…n的所有排列中,偶排列与奇 排列的个数相同 3.n阶行列式的定义 定义1设有n阶矩阵 作出矩阵中位于不同行不同列的n个数的乘积,并冠以符号 (-1) 1(2…:in)
由于图中有15个交点，t(83265147)=15.所以，83265147是奇 排列. 在排列中，将任意两个元素交换位置其余的元素不动得到新 排列的变换称为对换．将相邻两个元素对换，称为相邻对换. 从排列的交叉图可以看出，相邻对换使排列的逆序数增加1或 者减少1.由于任意对换可以通过奇数次相邻对换来实现，所以 对换改变排列的奇偶性，即对换使奇排列变为偶排列，偶排列 变为奇排列. 从而，当n>1时，n个元素 的所有排列中，偶排列与奇 排列的个数相同. 1,2, ,n 3. n阶行列式的定义 定义1 设有n阶矩阵 作出矩阵中位于不同行不同列的n个数的乘积，并冠以符号 = n n nn n n a a a a a a a a a A 1 2 21 22 2 11 12 1 ( ) 1 2 ( 1) n t j j j −