第四节矩阵的秩 矩阵的秩的概念 矩阵的秩是矩阵的一个重要数值特征,是研究矩阵 的重要概念 为了建立矩阵的秩的概念,先给出矩阵的子式的定 义在m×n矩阵A中,任取k行与k列(1≤k≤mn{m,n}) 位于这些行列交又处的k2个元素,按它们在矩阵A中的相对 位置组成的k阶行列式,称为A的一个k阶子式 例如,在矩阵 637 A=-23 中,取第1、2行和第2、4列交叉处的元素,组成的二 阶行列式 为A的一个二阶子式
第四节 矩阵的秩 mn 矩阵 A 中，任取 k 行与 k 列 (1 k min{ m,n}) 位于这些行列交叉处的 2 k 个元素 ， A 中的相对 k 阶行列式， A 的一个 k 阶 子式． − − = − 4 3 2 1 2 3 1 5 6 3 7 1 A 中，取第1、2行和第2、4列交叉处的元素，组成的二 3 5 3 1 为 A 的一个二阶子式． 矩阵的秩是矩阵的一个重要数值特征，是研究矩阵 的重要概念． 为了建立矩阵的秩的概念，先给出矩阵的子式的定 义． 一、矩阵的秩的概念 在 位置组成的 例如，在矩阵 阶行列式 按它们在矩阵 称为 返 回 第 三 章
有了子式的概念,就可以定义矩阵的秩 定义2设在矩阵A中有一个不等于零的r阶子式D,且所有 r+阶子式(如果存在的话全等于零,那么D称为A的最高阶非 零子式,数7称为矩阵的秩,记作R4.并规定零矩阵的秩等于零 由行列式按行(列)展开的公式知,在A中当所有r+1阶子式 全等于零时,所有高于r+1阶的子式也全等于零,因此A的秩R(4) 就是A中不等于零的子式的最高阶数,由定义知m×n阶矩阵A 的秩满足R(4)≤ min m,.显然,对任意矩阵A,R(4是唯一决定 的,但其最高阶非零子式不一定是唯一的.由行列式转置后其值 不变,故矩阵A与其转置矩阵Ar有相同的秩,即R4=RA
有了子式的概念，就可以定义矩阵的秩． A 中有一个不等于零的 r 阶子式 D ，且所有 r +1 阶子式(如果存在的话)全等于零， D 称为 A 的最高阶非 r 称为矩阵的秩，记作 R(A) ．并规定零矩阵的秩等于零． A 中当所有 r +1 阶子式 r +1 阶的子式也全等于零， A 的秩 R(A) 就是 A 中不等于零的子式的最高阶数， mn 阶矩阵 A 的秩满足 R(A) min m,n. 显然，对任意矩阵 A ， R(A) 是唯一决定 A 与其转置矩阵 A 有相同的秩，即 ( ) ( ) R A = R A 定义2 设在矩阵 零子式， 由行列式按行(列)展开的公式知， 全等于零时， 但其最高阶非零子式不一定是唯一的．由行列式转置后其值 不变， 那么 数 在 所有高于 因此 由定义知 的， 故矩阵 ．
例12求矩阵A与B的秩,其中 3 B 000 300 0100 00 解在A中,容易看出一个2阶子式 0 A的3阶子式只有一个4,经计算得|4=0,因此R(A)=2 B是一个行阶梯形矩阵,其非零行有3行,即知函所有4阶 子式全为零,而以三个非零行的左边第一个非零元素为对角 线元素的3阶行列式 03 0 4 的值为2×3×4=240,因此R(B)=3
例12 求矩阵 A 与 B 的秩，其中 = − 4 7 1 2 3 5 1 2 3 A ， − − − − = 0 0 0 0 0 0 0 0 4 3 0 3 1 2 5 2 1 0 3 2 B 解 在 A 中，容易看出一个2阶子式 0 2 3 1 2 A 的3阶子式只有一个 A ，经计算得 A = 0 ，因此 R(A) = 2 B 是一个行阶梯形矩阵，其非零行有3行，即知 B 的所有4阶 0 0 4 0 3 2 2 1 3 − − 子式全为零，而以三个非零行的左边第一个非零元素为对角 线元素的3阶行列式 的值为2×3×4=24≠0，因此 R(B) = 3
矩阵秩的计算 从上例可知,当行数与列数较大时,一般的矩阵按定义求 秩是很麻烦的.但是对于行阶梯形矩阵,它的秩就等于其非零行 的行数,一看便知不用计算 本段介绍用初等行变换把矩阵化为行阶梯形矩阵,从而求 矩阵的秩的方法.首先给出下列定理 定理6初等变换不改变矩阵的秩 证只就初等行变换的情况加以证明,至于初等列变换的 情况类似可证 如果使用第一种或第二种初等行变换把A化为B,B的子式与 的子式的对应关系有下列三种情形: B的子式即为A的某个子式 B的子式为A的某一个子式交换行的位置得到; B的子式由A的某一个子式的某一行乘以非零数k得到.因此 A与B对应的子式或者同时为零,或者同时不为零.所以, R(A)=R(B)
从上例可知，当行数与列数较大时，一般的矩阵按定义求 但是对于行阶梯形矩阵，它的秩就等于其非零行 的行数，一看便知不用计算． 本段介绍用初等行变换把矩阵化为行阶梯形矩阵，从而求 矩阵的秩的方法．首先给出下列定理． A 化为 B ， B 的子式与 A 的子式的对应关系有下列三种情形： B 的子式即为 A 的某个子式； B 的子式为 A 的某一个子式交换行的位置得到； B 的子式由 A 的某一个子式的某一行乘以非零数 k 得到．因此 A 与 B 对应的子式或者同时为零，或者同时不为零．所以， R(A) = R(B) 二、矩阵秩的计算 定理6 初等变换不改变矩阵的秩． 证 只就初等行变换的情况加以证明，至于初等列变换的 情况类似可证． 如果使用第一种或第二种初等行变换把 秩是很麻烦的．
当使用第三种初等行变换把A化为B(比如x+k)时,考虑 的任意一个r+1阶子式B1 分三种情形讨论: B不含第i行元素 B同时含第i行和第j行元素; B,含第i行但不含第而元素 在前两种情形,由行列式的性质,对4中与B对应的子式 A’B1=A1,故B=0;对第三种情形,有 B thi +k 以上等式右端第一个行列式为A的r+1阶子式,而第二个行 列式可由A的一个r+1阶子式交换两行的位置得到,故它们均等
当使用第三种初等行变换把 A 化为 B (比如 i krj r + )时， B 的任意一个 r +1 阶子式 Br+1 分三种情形讨论： Br+1 不含第 i 行元素； Br+1 同时含第 行和第 j 行元素； Br+1 含第 i 行但不含第 j 行元素． A 中与 Br+1 对应的子式 Ar+1 ， Br+1 = Ar+1 ，故 0 1 = Br+ ；对第三种情形，有 r i j i j B = r + k r = r + k r +1 以上等式右端第一个行列式为 A 的 r +1 阶子式， A的一个 r +1 阶子式交换两行的位置得到， i i 在前两种情形，由行列式的性质，对 列式可由 考虑 而第二个行 故它们均等 ．