证设A与B相似,那么存在可逆阵C,使 B=CAC 故-B=1/-CAC (-4C 证毕 注意:此性质的逆命题不成立,即具有相同特征 多项式或具有相同特征值的两个同阶方阵不一定相似 例如A B 们的特征多项式相同,但不 存在可逆阵C,使CAC=B
证 设 A与B 相似，那么存在可逆阵 C ，使 . 1 B C AC − = 故 I B I C AC −1 − = − = C ( I − A)C − 1 = C I − A C − 1 = I − A 证毕. 注意：此性质的逆命题不成立，即具有相同特征 多项式或具有相同特征值的两个同阶方阵不一定相似． 例如 , 3 1 1 0 A = = 0 1 1 0 B ，它们的特征多项式相同，但不 存在可逆阵C，使 . 1 C AC = B −
矩阵的相似对角化 如果一个矩阵与对角矩阵相似,那么该矩阵称为可 对角化矩阵.本节讨论矩阵的对角化问题.首先得出矩 阵可对角化的充分必要条件;然后介绍当矩阵A可对角 化时,如何求相似变换矩阵C,使C1AC为对角矩阵 定理62n阶矩阵A可对角化的充分必要条件是 矩阵A有个线性无关的特征向量 证设n阶矩阵A与对角矩阵A 相似, 那么存在可逆矩阵C
二、矩阵的相似对角化 如果一个矩阵与对角矩阵相似，那么该矩阵称为可 对角化矩阵．本节讨论矩阵的对角化问题．首先得出矩 阵可对角化的充分必要条件；然后介绍当矩阵A可对角 C AC 化时，如何求相似变换矩阵 −1 为对角矩阵． 定理6.2 n 阶矩阵 A 可对角化的充分必要条件是 矩阵 A 有 n 个线性无关的特征向量． 证 设 n 阶矩阵 A 与对角矩阵 = n 2 1 相似， 那么存在可逆矩阵C, C ，使