二、特征值与特征向量的求法分析：设dimV=n，Sj,82,",8n是V的一组基，线性变换在这组基下的矩阵为A设 ,是的特征值，它的一个特征向量在基X0161,82，8n下的坐标记为Xon0则（)在基81,82,,8n下的坐标为AXon7.4特征值与特征向量V
§7.4 特征值与特征向量 设 dim , , , , V n = 1 2 n 是V的一组基， 线性变换 在这组基下的矩阵为A. 1 2 , , , n 下的坐标记为 01 0 , n x x 二、特征值与特征向量的求法 分析： 设 0 是 的特征值，它的一个特征向量 在基 则 ( ) 在基 下的坐标为 01 0 , n x A x 1 2 , , , n
(X01又 α()= α：而的坐标是 (Xon)XoXo1:= 2:= 0.从而(a,E-A)于是AXonXon)Xon)Xo1即:是线性方程组(,E-A)X =0 的解(Xon)Xo1.#0，：(2,E-A)X=0有非零解,又#0,Xon所以它的系数行列式2,E-A=0.7.4特征值与特征向量A
§7.4 特征值与特征向量 而 0 的坐标是 01 0 0 , n x x 0 01 01 0 0 , n n x x A x x = 于是 0 又 ( ) = 0 01 0 ( ) 0. n x E A x − = 从而 01 0 0, 0, n x x 又 即 是线性方程组 的解， 01 0n x x 0 ( ) 0 E A X − = ∴ ( ) 0 0E A X − = 有非零解. 所以它的系数行列式 0 E A− = 0
以上分析说明：若是的特征值，则,E-A=0.反之，若,EP满足a,E-A=0,则齐次线性方程组(a,E-A)X=0有非零解若(xo1,Xo2,,Xon)是(a,E-A)X =0 一个非零解,则向量=x+.+x，就是的属于的一个特征向量.87.4特征值与特征向量A
§7.4 特征值与特征向量 以上分析说明： 若 是 的特征值，则 0 E A− = 0. 0 反之，若 0 P 满足 0 E A− = 0, 则齐次线性方程组 有非零解. 0 ( ) 0 E A X − = 若 ( , , , ) x x x 01 02 0n 是 ( ) 0 0E A X − = 一个非零解， 特征向量. 则向量 = + + x x 01 1 0n n 就是 的属于 0 的一个
1.特征多项式的定义设Ａpxn，是一个文字，矩阵aE－Ａ称为A的特征矩阵，它的行列式-a.-a,..-a.-a -an .-azn≤f (a)[E- A|=-a. -an ... -a..称为A的特征多项式，（f(a)是数域P上的一个n次多项式）67.4特征值与特征向量区区
§7.4 特征值与特征向量 设 , 是一个文字，矩阵 称为 n n A P E A − 11 12 1 21 22 2 1 2 ... ... ... ... ... ( ) n n n n nn A a a a a a a E A a a a f − − − − − − − = − − − 称为A的特征多项式. 1. 特征多项式的定义 A的特征矩阵，它的行列式 （ fA ( ) 是数域P上的一个n次多项式）
注：①若矩阵A是线性变换θ关于V的一组基的矩阵，而,是α的一个特征值，则,是特征多项式f(a)的根，即 f.(a)=0.反之，若,是A的特征多项式的根，则,就是α的一个特征值。（所以，特征值也称特征根.）②矩阵A的特征多项式的根有时也称为A的特征值而相应的线性方程组（aE-A)X=0 的非零解也就称为A的属于这个特征值的特征向量，7.4特征值与特征向量区区
§7.4 特征值与特征向量 ② 矩阵A的特征多项式的根有时也称为A的特征值, 注：① 若矩阵A是线性变换 关于V的一组基的矩阵， 而 0 是 的一个特征值，则 是特征多项式 ( ) A 0 f 的根，即 0 ( ) 0. A f = 的一个特征值. 反之，若 0 是A的特征多项式的根，则 0 就是 （所以，特征值也称特征根.） 而相应的线性方程组 ( ) 0 E A X − = 的非零解也就 称为A的属于这个特征值的特征向量