江画工太猩院 例6证明im sinx_0 x→0x sin x sInx 证 L 8 v>0,取X=,则当x>时恒有 sin x -0<8,故im SInx =0 x-0 定义:如果lim∫(x)=c,则直线y=c是函数y=f(x) x→0 的图形的水平渐近线
江西理工大学理学院 x x y sin 例6 0. = sin lim = →∞ x x x 证明 证 x x x x sin 0 sin Q − = x 1 < X 1 < = ε, ∀ε > 0, , 1 ε 取 X = 则当 x > X时恒有 0 , sin − < ε x x 0. sin lim = →∞ x x x 故 . : lim ( ) , ( ) 的图形的水平渐近线 定义 如果 f x c 则直线 y c是函数 y f x x = = = →∞
江画工太猩院 三、函数极限的性质 1有界性 定理若在某个过程下,f(x)有极限,则存在 过程的一个时刻在此时刻以后f(x)有界 2唯一性 定理若limf(x)存在则极限唯
江西理工大学理学院 三、函数极限的性质 1.有界性 定理 若在某个过程下, f ( x )有极限,则存在 过程的一个时刻,在此时刻以后 f ( x )有界. 2.唯一性 定理 若lim f ( x )存在 ,则极限唯一
江画工太猩院 3不等式性质 定理(保序性)设mmf(x)=Amg(x)=B x→x 若8>0,x∈U(x,.6,有f(x)≤g(x),则A≤B 推论设imf(x)=A,img(x)=B,且A<B x→>x0 x→>x0 0 则彐δ>0,x∈U(x0,),有f(x)<g(x)
江西理工大学理学院 推论 0, ( , ), ( ) ( ). lim ( ) , lim ( ) , 0 0 0 0 x U x f x g x f x A g x B A B x x x x ∃ > ∀ ∈ < = = < → → 则 有 设 且 δ δ 3.不等式性质 定理(保序性) 0, ( , ), ( ) ( ), . lim ( ) , lim ( ) . 0 0 0 0 x U x f x g x A B f x A g x B x x x x ∃ > ∀ ∈ ≤ ≤ = = → → 若 有 则 设 δ δ
江画工太猩院 定理(保号性)若Iimf(x)=A,且A>0或4<0), 则8>0,当xeU(x1,8时,f(x)>0(或f(x)<0 推论若im∫(x)=A,且38>0当x∈U"(xn,8)时, x→x0 ∫(x)≥0(或f(x)≤0,则A≥0或A≤0)
江西理工大学理学院 0, ( , ) , ( ) 0( ( ) 0). lim ( ) , 0( 0), 0 0 0 ∃δ > ∈ δ > < = > < → x U x f x f x f x A A A x x 则 当 时 或 定理(保号性) 若 且 或 ( ) 0( ( ) 0), 0( 0). lim ( ) , 0, ( , ) , 0 0 0 ≥ ≤ ≥ ≤ = ∃δ > ∈ δ → f x f x A A f x A x U x x x 或 则 或 推论 若 且 当 时
江画工太猩院 4子列收敛性(函数极限与数列极限的关系 定义设在过程x→a(a可以是x,x,或x中 有数列x1(≠a),使得n→∞时xn→a则称数列 (x,,即f(x1)f(x2),…f(xn),…为函数f(x) 当x→l时的子列 定理若im∫(x)=4数列f(x,是f(x当x→a x→a 时的一个子列,则有im∫(x)=A H→0
江西理工大学理学院 4.子列收敛性(函数极限与数列极限的关系)* { } . ( ) , ( ), ( ), , ( ), ( ) ( ), . ( , , ) 1 2 0 0 0 当 时的子列 即 为函数 有数列 使得 时 则称数列 设在过程 可以是 或 中 x a f x f x f x f x f x x a n x a x a a x x x n n n n → ≠ → ∞ → → + − L L 定义 , lim ( ) . lim ( ) , ( ) ( ) f x A f x A f x f x x a n n n x a = = → →∞ → 时的一个子列 则有 定理 若 数列 是 当