江画工太猩院 例3证明lim 2 x→1 证函数在点1处没有定义. (x)-A=x2-1 2=x-1任给s>0 x-1 要使∫(x)-A<8,只要取8=8, 当0<x-x<6时,就有-1-25<6 x-1 ∴ lim f-1 x→1x-1
江西理工大学理学院 例3 2. 11 lim 2 1 = −− → xx x 证明 证 2 1 1 ( ) 2 − − − − = x x Q f x A 任给ε > 0, 只要取δ = ε, 0 , 当 < x − x0 < δ时 函数在点x=1处没有定义. = x − 1 要使 f (x) − A < ε, 2 , 11 2 − < ε −− xx 就有 2. 1 1 lim 2 1 = − − ∴ → x x x
江画工太猩院 例4证明:当x>0时,imx=x, x→x 证:(-4=1x-x1=x=x=x x+√xa 0 任给ε>0,要使f(x)-A4<8, 只要x-x<√x且不取负值取8=mix,x1, 当0<x-xn<6时,就有x-√x<E
江西理工大学理学院 例4 lim . 0 0 x x x x ∴ = → 证 0 Q f (x) − A = x − x 任给ε > 0, min{ , }, 0 0 取δ = x x ε 0 , 当 < x − x0 < δ时 0 0 x x x x + − = 要使 f (x) − A < ε, , 0 就有 x − x < ε , 0 0 x x − x ≤ . 只要 x − x0 < x0 ε 且不取负值 : 0 , lim . 0 0 0 x x x x x > = → 证明 当 时
江画工太猩院 3、单侧极限: 例如, 1-,I<0少1 设fx)=12 x2+1,x≥0 y=x2+1 证明imf(x)=1 x→0 0 x 分x>0和x<0两种情况分别讨论 x从左侧无限趋近x,记作x→x1-0 x从右侧无限趋近x,记作x→x+0
江西理工大学理学院 3、单侧极限: 例如, lim ( ) 1. 1, 0 1 , 0 ( ) 0 2 = ⎩⎨⎧ + ≥ − < = → f x x x x x f x x 证明 设 分x > 0和x < 0两种情况分别讨论 , x从左侧无限趋近x0 0; 记作x → x0 − , x从右侧无限趋近x0 0; 记作x → x0 + y o x 1 y = 1 − x 1 2 y = x +
江画工太猩院 左极限V8>038>0,使当x1-8<x<x时, 恒有f(x)-A4<8 记作imf(x)=A或f(x1-0)=A (x→x) 右极限V>036>0使当x<x<x+6时, 恒有f(x)-A<c 记作imf(x)=A或∫(xn+0)=A x→xa+0 (x→x 注意:{x0<x-x<8} {x0<x-xn<8}∪{x-8<x-x<0
江西理工大学理学院 左极限 ( ) . 0, 0, , 0 0 − < ε ∀ε > ∃δ > − δ < < f x A x x x 恒有 使当 时 右极限 ( ) . 0, 0, , 0 0 − < ε ∀ε > ∃δ > < < + δ f x A x x x 恒有 使当 时 { 0 } { 0} :{ 0 } 0 0 0 = < − < δ − δ < − < < − < δ x x x x x x x x x U 注意 lim ( ) ( 0) . 0 ( ) 0 0 0 f x A f x A x x x x = − = → − → − 记作 或 lim ( ) ( 0) . 0 ( ) 0 0 0 f x A f x A x x x x = + = → + → + 记作 或
江画工太猩院 定理:lim∫(x)=A台→f(xn-0)=f(xo+0)=A rIo 例5验证lim不存在 x→)0y 证 lim x→-0xx→-0x im(-1)=-1 lim = lim =- lim 1=1 x→+0xx+0x→+0 左右极限存在但不相等,;imf(x)不存在
江西理工大学理学院 : lim ( ) ( 0) ( 0) . 0 0 0 f x A f x f x A x x = ⇔ − = + = → 定理 lim . 0 验证 不存在 x x x→ y x 1 − 1 o x x x x x x − = →−0 →−0 lim lim 左右极限存在但不相等, lim ( ) . 0 f x 不存在 x→ ∴ 例5 证 lim ( 1) 1 0 = − = − x→− x x x x x 0 x 0 lim lim →+ + = lim 1 1 0 = = x→+