《高等数学》课程电子教案（PPT课件）第6章 无穷级数 Ch 6-2,3 数项级数及审敛法

1≤一,故2)若p>1,因为当n-1≤x≤n时,rpnp一hdxhb2Fn2- +/201np-1(n+ 1)p-126111n→8ZCn=-n(n + 1)p-1RP-Pkk=1故强级数收敛，由比较审敛法知p级数收敛O0000?机动目录上页下页返回结束

p 1, 因为当 , 1 1 p p n x  故  − = n p n p x n n 1 d 1 1  −  n n p x x 1 d 1   − −   − = −1 −1 1 ( 1) 1 1 1 p p p n n 考虑强级数   − −   − −  =  1 1 2 1 ( 1) 1 p p n n n 的部分和  n   + −   = − − =  1 1 1 ( 1) 1 1 p p n k k k n → 故强级数收敛 , 由比较审敛法知 p 级数收敛 . 时, 1 ( 1) 1 1 − + = − p n       + + + −       + −       − −1 −1 −1 −1 −1 ( 1) 1 1 3 1 2 1 2 1 1 p p p p p n n  1 2) 若 机动 目录 上页 下页 返回 结束

调和级数与p级数是两个常用的比较级数若存在NeZ+，对一切n≥N.8(1)un≥二，则Zun发散;nn=181(2)(p>l)，则un收敛.hn=1O0000?机动目录上页下页返回结束

调和级数与 p 级数是两个常用的比较级数. 若存在 , + N Z 对一切 n  N , 机动 目录 上页 下页 返回 结束

81Z发散.例2.证明级数n(n+1)n=1 1证：因为111(n=1,2,.)/n(n + 1)n+l(n +1)8811ZZ发散而级数n+]kn=1k=2根据比较审敛法可知，所给级数发散O0000x机动目录上页下页返回结束

证明级数 发散 . 证: 因为 2 ( 1) 1 ( 1) 1 +  n n + n 而级数   = = 2 1 k k 发散 根据比较审敛法可知, 所给级数发散 . 例2. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

设两正项级数定理3.（比较审敛法的极限形式）88un =l,则有Zun，vn满足limVnn=1n=1n-→>0 (1)当0<l<8 时,，两个级数同时收敛或发散；88(2)当1=0 且vn收敛时,Zun也收敛;n=1n=188(3)当1=oo 且Zvn发散时,Zun也发散.n=1n=1证：据极限定义,对ε>0,存在NeZ+,当n>N时un-l|<(l)NnOe00x机动自录上页下页返回结束

定理3. (比较审敛法的极限形式) lim l, v u n n n = → 则有 两个级数同时收敛或发散 ; (2) 当 l = 0 (3) 当 l =∞ 证: 据极限定义, 设两正项级数 满足 (1) 当 0 < l <∞ 时, 机动 目录 上页 下页 返回 结束

(n>N)(l -ε)n ≤un ≤(l +)vn88ZvnZu,与(1)当0<l<时，取<l,由定理 2 可知n=1n=1同时收敛或同时发散；(2)当l=0时,利用un<(l +ε)vn (n>N),由定理2 知88若vn收敛，则u,也收敛;n=1n=1un>1,即(3)当l=时，存在NεZ+,当n>N时Vn8Zyn发散，un>Vn，由定理2可知,若n=1ac则u,也发散.n=1oe000x机动目录上页下页返回结束

n n n (l − )v  u  (l + )v 由定理 2 可知   n=1 n v 同时收敛或同时发散 ; (n  N ) (3) 当l = ∞时, 即 n n u v ，由定理2可知, 若   n=1 n v 发散 , (1) 当0 < l <∞时, (2) 当l = 0时, 由定理2 知   n=1 n 若 v 收敛 , 机动 目录 上页 下页 返回 结束