1 a= a ka: =A2 显然,向量组a1…,ka;…,am 可以由向量组c1 n 线性表示; 而向量组a1,…,1;…,Cm 也可以由向量组a1,,ka1;…,Cm线性表示。 所以矩阵A的行向量组与A2的行向量组等价, 又等价的向量组有相同的秩, A的行秩=A2的行秩,即A的行秩不变 上页
1 1 2 i kr i i m m A A k = ⎯⎯→ = 显然，向量组 1 , , , , i m k 可以由向量组 1 , , , , i m 线性表示； 而向量组 1 , , , , i m 也可以由向量组 1 , , , , i m k 线性表示。 所以矩阵 A 的行向量组与 A2 的行向量组等价， 又等价的向量组有相同的秩， A的行秩＝ A2 的行秩，即A的行秩不变
(3)非零常数k乘以第行后加到第j行上 1 4= A 3 a2+ka7显然,A3中的行向量组 可以由A的行向量组线性表示 m am)而A的行向量组可以由 A,中的行向量组线性表示。 所以两个向量组等价,所以行向量组的秩不变 所以矩阵的行秩不变。 上页
（3）非零常数k乘以第i行后加到第j行上 1 1 3 i i i kr j j i m m A A k = ⎯⎯→ = + 显然， A3 中的行向量组 可以由 A 的行向量组线性表示 而 A 的行向量组可以由 A3 中的行向量组线性表示。 所以两个向量组等价，所以行向量组的秩不变， 所以矩阵的行秩不变
定理4-15:矩阵的初等行变换不改变矩阵的列秩。 (列) (行) 证:设矩阵A经过初等行变换变为B, 即存在有限个初等矩阵P,P2,…,P 使得PP2…PA=B 令P=PP2…P则PA=B 工工工 把Anm按列分块,设Amxn=(a1,a2…,an) 不妨设A的列向量组的极大无关组为a1C2,…,Cr, (可交换列的次序把它们换到前r列,矩阵的秩不变) 则PA=P(a1,a2,…,arn)=(Pa1,Pa2,…,Pan) =B 王页下
定理4-15：矩阵的初等行变换不改变矩阵的列秩。 （列） （行） 证：设矩阵A经过初等行变换变为B， 即存在有限个初等矩阵 1 2 , , , P P PS 使得 P P P A B 1 2 S = 令 P P P P = 1 2 S 则 PA B = 把 A m n 按列分块，设 1 2 ( , , , ) A m n n = 不妨设A的列向量组的极大无关组为 1 2 , , , , r （可交换列的次序把它们换到前r列，矩阵的秩不变） 则 1 2 1 2 ( , , , ) ( , , , ) PA P P P P = = n n = B
下面证明A的列向量组的极大无关组a1a2…a 士王士 经过初等行变换变为Pa,、P2∵,Po 是矩阵B的列向量组的极大无关组。 (1)先证Pa1,Pa2…,Pa线性无关。 设数k1,k 29 k 使得k,Pa,+k,Pa,+k.Pa.=0成立 P(K,a,+k,a,+k, a)=0 工工工 因为P为初等矩阵的乘积,所以P可逆 '.PP(K,a +k, a,+k, a)=P-0 k1a1+k2a2+k,a1=0又a1,a2,…,a,线性无关 ∴k1=k2=k3=0∴PO1,Pa2,…,Pa,线性无关
下面证明A的列向量组的极大无关组 1 2 , , , r 经过初等行变换变为 1 2 , , , P P P r 是矩阵B的列向量组的极大无关组。 设数 1 2 , , , r k k k 使得 1 1 2 2 0 r r k P k P k P + + = 成立 1 1 2 2 ( ) 0 P k k k + + = r r 因为P为初等矩阵的乘积，所以P可逆。 1 1 1 1 2 2 ( ) 0 P P k k k P r r − − + + = 1 1 2 2 0 r r + + = k k k 又 1 2 , , , r 线性无关 1 2 3 = = = k k k 0 1 2 , , , P P P r 线性无关。 （1）先证 1 2 , , , P P P r 线性无关
中(2)再证B的列向量组中任一向量Pa 可由向量组Pa1,Pa2…,Par线性表示。 a1,a2,…,C1是A的列向量组的极大无关组 c所以对于A中任一列向量a1都存在数1l,… 使得a1=l1a1+l2a2+…+la 等号两边左乘P 有Pa1=l1P1+l2Pa2+…+l,Pa 由(1)(2)可知Pa1,Pa2,…,P1是B的列向量组的一个极大 无关组。 所以,B的列秩=r=A的列秩 上页
可由向量组 1 2 , , , P P P r 线性表示。 1 2 , , , r 是A的列向量组的极大无关组 所以对于A中任一列向量 1 2 , , , r j 都存在数 l l l 使得 j r r 1 1 2 2 = + + + l l l 等号两边左乘P 有 P l P l P l P j r r = + + + 1 1 2 2 由(1)(2)可知 1 2 , , , P P P r 是B的列向量组的一个极大 无关组。 所以，B的列秩＝r＝A的列秩 （2）再证B的列向量组中任一向量 P j