5 4线性变换的矩阵 、线性变换在一组基下的矩阵 ·二、向量的象的坐标 上页
5.4 线性变换的矩阵 • 一、线性变换在一组基下的矩阵 • 二、向量的象的坐标
王一、线性变换在一组基下的矩阵 定理设是数域P上的n维线性空间,a1,a2,…,n 是它的组基,o是的一线性变换,则中任一向量 中的象由基的象G(a)(2),,q(a,所完全确定 工工工 上页
一、线性变换在一组基下的矩阵 ( ), ( ), , ( ) . , , , , , , 1 2 1 2 的象由基的象 所完全确定 是它的组基 是 的一线性变换 则 中任一向量 定理 设 是数域 上的 维线性空间 n n V V V P n
定义设G是线性空间中的线性变换,在V 中取定一个基a1,a2,…,an,如果这个基在变换 下的象为 (1)=1C1 a,1 21 2+…+n1Cn (a2)=a121+a,2O,+…+an20n o(cn)=a1,1+a,,0,+…+anC n 上页
( ) ( ) ( ) = + + + = + + + = + + + , , , 1 1 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 1 2 1 n n n nn n n n n n a a a a a a a a a 定义 设 是线性空间 中的线性变换，在 中取定一个基 ，如果这个基在变换 下的象为 V V n , , , 1 2
记a(a 19029 n)=(a(a1)o(a2)…σ(an)上式 可表示为 1925 15 a n 12 n 其中 4= 21 22 2n n2 nn 那末,A就称为线性变换矿在基1,C2,,On下的 矩阵 上页
其中 , 1 2 21 22 2 11 12 1 = n n nn n n a a a a a a a a a A (1 , 2 , , n ) = (1 , 2 , , n )A 记 (1 ,2 , ,n ) = ( (1 ), (2 ), , (n )), 上式 可表示为 那末， 就称为线性变换 在基 下的 矩阵． n A 1 , 2 , ,
显然矩阵4由基的象σ(ax1),…,(an唯一确定 反之,设a1,a2…,an是线性空间的一基,A为 任一n阶方阵,则存在唯一的线性变换:Ⅳ→V, 使得 (a1,a2…On)=(012,…,cn)A 事实上,可定义变换σ:V→>如下 a(a,)=∑aak k=1 上页
, ( ), , ( ) . 显然 矩阵A由基的象 1 n 唯一确定 ( , , , ) ( , , , ) . , : , , , , , 1 2 1 2 1 2 A n V V V A n n n = → 使得 任一 阶方阵 则存在唯一的线性变换 反之 设 是线性空间 的一基， 为 ( ) . : 1 k n k j ak j V V = = 事实上，可定义变换 → 如下