53线性变换及其性质 一、线性变换的概念 二、线性变换的性质 三、线性变换的运算 上页
5.3 线性变换及其性质 • 一、线性变换的概念 • 二、线性变换的性质 • 三、线性变换的运算
、线性变换的概念 1.映射 线性空间中向量之间的联系,是通过线性空 间到线性空间的映射来实现的 王定义1设有两个非空集合,B如果对于中任一 中元素a按照一定规则总有B中一个确定的元素尸 和它对应,那么,这个对应规则称为从集合A到集合 牛B的映射记作 T:A→B 当A=B时,是4到自身的映射常称为A上的变换
线性空间中向量之间的联系，是通过线性空 间到线性空间的映射来实现的． １．映射 一、线性变换的概念 : . , , , , , 1 , , T A B B A B A B A → 的映射 记作 和它对应 那么 这个对应规则称为从集合 到集合 元素 按照一定规则 总有 中一个确定的元素 定义 设有两个非空集合 如果对于 中任一 当A = B时,T是A到自身的映射,常称为A上的变换
王设a∈T(a)=B,就说映射把元素变为B 平B称为a在映射下的象a称为在映射下的原象 映射(变换)的概念是函数概念的推广 上页
映射（变换）的概念是函数概念的推广． , . , ( ) , , 称为 在映射 下的象 称为 在映射 下的原象 设 就说映射 把元素 变为 T T A T T =
2.线性空间V上的线性变换 定义2设是数域P上的n维线性空间, T:V→V是V的一个变换如果变换T满足 (1)任给ax1,a2∈V,有 T(ax1+a2)=T(a1)+r(a2) (2)任给a∈V,k∈P,都有r(ka)=kT(a) 中那么就称T为线性空间的线性变换 T(a)称为向量a在线性变换T下的象 上页
( ) ( ) ( ); (1) , , 1 2 1 2 1 2 T T T V + = + 任给 有 (2) 任给 V,k P,都有T(k) = kT(). 那么,就称T为线性空间V的线性变换. 是 上的一个变换 如果变换 满足 定义 设 是数域 上的 维线性空间 T V V V T V P n : , 2 , → 2．线性空间 V 上的线性变换 T()称为向量在线性变换T下的象
说明 线性变换就是保持线性运算线性组合)的对应 的变换T(ka+l))=kTa+IT(B) 要证一个变换T是线性变换,必须证T保持 加法和数量乘法,即 T(a+B)=t(a)+t(B), t(ka)=kT(a) 若证一个变换T不是线性变换,只须证T不保 王持加法或数量乘法,并且只须举出一个反例即可 上页
T(k + l ) = kT + lT( ). 说明 . ( ) 的变换 线性变换就是保持线性运算 线性组合 的对应 要证一个变换 是线性变换，必须证 保持 加法和数量乘法，即 T( + ) = T() + T( ), T(k) = kT(). T T 若证一个变换 不是线性变换，只须证 不保 持加法或数量乘法，并且只须举出一个反例即可． T T