62、相似矩阵 621、线性变换在不同基下的矩阵 622、相似矩阵的性质 上页
6.2、相似矩阵 6.2.1、线性变换在不同基下的矩阵 6.2.2、相似矩阵的性质
621、线性变换在不同基下的矩阵 同一个线性变换在不同的基下有不同的矩阵, 那么这些矩阵之间有什么关系呢? 午定理1设线性空间H中取定两个基 a1,a2,…,Cn;B1,B2Bn, 王由基a1a,,a,到基AB,A2,,B的过渡矩阵为 上P,中的线性变换T在这两个基下的矩阵依次为 A和B,那末B=PAP. 上页
同一个线性变换在不同的基下有不同的矩阵， 那么这些矩阵之间有什么关系呢？ 6.2.1、线性变换在不同基下的矩阵 , , , ; , , , , 1 2 n 1 2 n 定理１ 设线性空间 V 中取定两个基 由基 到基 的过渡矩阵为 ， 中的线性变换 在这两个基下的矩阵依次为 和 ，那末 n , , , 1 2 n , , , 1 2 V . 1 B P AP − = P T A B
证 明 ,B2 2 P T 12C, n 2 n T B1 月2 B )= B1 B B 于 是 B1 B2 B T (A B B2 T 2 r[( P
于是 ( ) ( ) n B T n , , , , , , 1 2 = 1 2 [( , , , ) ] = T 1 2 n P = T(1 , 2 , , n )P 证明 (1 , 2 , , n ) = (1 , 2 , , n )P ( , , , ) ( , , , ) , T 1 2 n = 1 2 n A T(1 , 2 , , n ) = (1 , 2 , , n )B
102 n DAP =(B1,B2,…,B)PAP 王因为A,月2,…,B,线性无关 所以B=PAP 证毕 定理表明:B与A相似,且两个基之间的过渡 矩阵P就是相似变换矩阵 上页
= (1 , 2 , , n )AP ( n )P AP 1 1 2 , , , − = 因为 1 , 2 , , n 线性无关， 所以 B P AP. −1 = 证毕. 定理表明： 与 相似，且两个基之间的过渡 矩阵 就是相似变换矩阵． B A P
例1设H2中的线性变换在基aa2下的矩阵为 1112 2122 求T在基a2,a1下的矩阵 01 解(a2)=(a1a 10 工工 01 即 01 P= 求得 10 上页
例 1 , . , , 2 1 2 1 2 2 1 1 1 2 2 1 2 求 在 基 下的矩阵 设 中的线性变换 在 基 下的矩阵为 T a a a a A V T = , 1 0 0 1 ( , ) ( , ) 2 1 1 2 解 = , 1 0 0 1 即 P = , 1 0 0 1 1 = − 求得 P