64实对称矩阵的对角化 6.4.1实对称矩阵特征值与特征向量 642实对称矩阵对角化的条件 工工工 上页
6.4 实对称矩阵的对角化 6.4.1 实对称矩阵特征值与特征向量 6.4.2 实对称矩阵对角化的条件
6.4.1、实对称矩阵的特征值与特征向量 定理1实对称矩阵的特征值为实数 证明设复数为对称矩阵A的特征值,复向量x为 对应的特征向量, 即 A4x=ax,x≠0 用表示的共轭复数,表示的共轭复向量, 则Ax=Ax=(4x)=(ax)=元x 上页
定理1 实对称矩阵的特征值为实数. 证明 , , 对应的特征向量 设复数为对称矩阵A的特征值 复向量x为 即 Ax = x , x 0. 用 表示的 共轭复数 , 则 Ax = Ax = (Ax) = (x) = x. 6.4.1、实对称矩阵的特征值与特征向量 x表示x的共轭复向量
庄于是有x4x=x(4)=xx=x 牛及x4x=(2Ak=(4yx=(yAxx 两式相减,得 -几 xx=0. 但因为x≠0, 王所以xx==x2≠0=(x-x)=0 牛即=元,由此可得是实数 上页
于是有 x Ax T x Ax T 及 x (Ax) T = x x T = x x, T = (x A )x T T = (Ax) x T = ( x) x T = x x. T = 两式相减，得 ( − )x x = 0. T 但因为x 0, ( − ) = 0, 即 = , 由此可得是实数. 0, 1 2 1 = = = = n i i n i i i T 所以 x x x x x
定理的意义 由于实对称矩阵的特征值,为实数所以齐次 线性方程组 (4-,E)x=0 是实系数方程组由A-E=0知必有实的基础解 系,从而对应的特征向量可取实向量 推论n阶实对称矩阵有个实特征值 (重根按重数计算) 上页
定理1的意义 , . , 0 ( ) 0 , 系 从而对应的特征向量可以取实向量 是实系数方程组由 知必有实的基础解 线性方程组 由于实对称矩阵 的特征值 为实数 所以齐次 − = − = A E A E x A i i i 推 论 n阶实对称矩阵有n个实特征值 （重根按重数计算）
王定理2设4是实对称矩阵的k重特征值, 王则A的属于特征值的特征向量中,极大线生 平无关组包含的向量个数合为k 定理2也可叙述为 定理2′设A为n阶对称矩阵A0是4的特征方程的 王重根则矩阵A-A1E的秩R(A-E)=n-k从而 对应特征值恰有k个线性无关的特征向量 上页
无关组包含的向量个数恰 为 。 则 的属于特征值 的特征向量中，极大线性 定 理 、 设 是实对称矩阵 的 重特征值， k A 2 k 0 0 A . , ( ) , 2 , 0 0 0 0 对应特征值 恰 有 个线性无关的特征向量 重 根 则矩阵 的 秩 从 而 定 理 设 为 阶对称矩阵 是 的特征方程的 k A E R A E n k A n A k − − = − 定理2也可叙述为