55欧几里得空间 、内积 、标准正交基 三、施密特正交化 四、正交矩阵与正交变换 上页
5.5 欧几里得空间 • 二、标准正交基 • 三、施密特正交化 • 四、正交矩阵与正交变换 • 一、内积
一、内积 二回忆:R3 ab=abc0s0,表示ab的夹角 观=√a 若a=a1i+a2j+a3k, 6=b,i +b,j+b3k 则a·b=a1b+a2b2+ab3 上页
回忆: 3 R a b a b cos , = 表示a,b的夹角. a a a = , , 1 2 3 1 2 3 b b i b j b k a a i a j a k = + + 若 = + + a b = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 则 一、内积
推广到n维实向量空间R”: 定义1设有n维向量 b B= b 令(a,B)=a1+a2b2+…+anb 称(a,B)为向量a与的内积 上页
定义1 设有n维向量, , 2 1 2 1 = = n bn b b a a a ( ) = a1b1 + a2b2 ++ anbn 令 , 称(, )为向量 与的 内积 . 推广到n维实向量空间 : n R
Ⅻ说明 1(n≥4)维向量的内积是3维向量数量积 的推广,但是没有3维向量直观的几何意义 2内积是向量的一种运算如果a,F都是列 向量,内积可用矩阵记号表示为 (a, B)=aB=Ba 上页
说明 1 维向量的内积是3维向量数量积 的推广，但是没有3维向量直观的几何意义． n(n 4) ( , ) . , : 2 , , T T = = 向量 内积可用矩阵记号表示为 内积是向量的一种运算 如果 都是列
内积的运算性质 (其中a,B,y为n维向量,为实数) (1)(a,B)=(B,a (2)(ka,B)=k(a,B (3)(a+B,y)=(a,y)+(,y; (4)(a,a)20、(a,a)=0当且仅当a=0 R"中定义1的内积有时称为标准内积 上页
内积的运算性质 (其中, , 为n维向量,k为实数): (1) (, ) = ( ,); (2) (k, ) = k(, ); (3) ( + , ) = (, )+ ( , ); (4)(,) 0,(,) = 0当且仅当 = 0. 中定义1的内积有时称为标准内积. n R