63、矩阵可对角化的条件 63.1、可对角化条件 王632特征向量的线性无关性 6.3.3、举例 上页
6.3、矩阵可对角化的条件 6.3.1、可对角化条件 6.3.2、特征向量的线性无关性 6.3.3、举例
631、可对角化条件 对n阶方阵A,若可找到可逆矩阵P,使 PAP=A为对角阵这就称为把方阵对角化 定理1m阶矩阵4与对角矩阵相似即4能对角化) 的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量 王证明假设存在可逆阳,使PP=A为对角阵 把P用其列向量表示为P=(m1,P2, n 上页
, . , , 1 为对角阵 这就称为把方阵 对角化 对 阶方阵 若可找到可逆矩阵 使 P AP A n A P = − 证明 , , 假设存在可逆阵P 使P −1AP = 为对角阵 ( , , , ) . 把 P 用其列向量表示为P = p1 p2 pn 6.3.1、可对角化条件 . 1 ( ) 的充分必要条件是 有 个线性无关的特征向量 定 理 阶矩阵 与对角矩阵相似即 能对角化 A n n A A
由PAP=A,得AP=PA, 1 即4(n1,p2…,pn)=(n1,P2,…,pn 2 =(巩1D1,2P2,…,,Dn A(m1,D2,…pn)=(41,42…,pn) =(41p1,42,…,4n) 于是有42=4p1(=12…m小 上页
( ) ( ) = n n n A p p p p p p 2 1 1 2 1 2 即 , , , , , , ( , , , ). = 1 p1 2 p2 n pn ( ) ( ) A p p pn Ap Ap Apn , , , , , , 1 2 = 1 2 Ap p (i 1,2, ,n). 于是有 i = i i = ( ) p p pn , , , = 1 1 2 , , 1 = = − 由P AP 得AP P
庄可见x1是A的特征值而P的列向量p就是 A的对应于特征值λ的特征向量 反之,由于A恰好有n个特征值,并可对应地求 得n个特征向量,这n个特征向量即可构成矩阵P, 使AP=PA 王又由于阿可所以,2,m线性无关 命题得证 上页
. , 的对应于特征值 的特征向量 可见 是 的特征值 而 的列向量 就是 i i i A A P p , , , , . 又由于P可逆 所以p1 p2 pn线性无关 命题得证. . , , , , AP = P n n P A n 使 得 个特征向量 这 个特征向量即可构成矩阵 反之 由于 恰好有 个特征值 并可对应地求
说明如果A的特征方程有重根,此时不一定有 n个线性无关的特征向量,从而矩阵4不一定能 对角化,但如果能找到个线性无关的特征向量 A还是能对角化. 可逆矩阵P就是以这n个线性无关的特征向量 作为列向量而成的 上页
说明 如果 的特征方程有重根，此时不一定有 个线性无关的特征向量，从而矩阵 不一定能 对角化，但如果能找到 个线性无关的特征向量， A 还是能对角化． A n n A 作为列向量而成的。 可逆矩阵P就是以这n个线性无关的特征向量