52基、维数和坐标 线性空间的基、维数和坐标 二、基变换与坐标变换 上页
5.2 基、维数和坐标 • 二、基变换与坐标变换 • 一、线性空间的基、维数和坐标
线性空间的基、维数和坐标 中定义1在数域P上的线性空间中,考虑向量组 1929 若存在不全为0的数k1,k2,…,k,满足 k1a1+k22+…+k,as=0 工工工 则称向量组a1,a2,,C线性相关 否则称为线性无关 上页
一、线性空间的基、维数和坐标 定义１ 在数域P上的线性空间V中，考虑向量组 s , , , 1 2 若存在不全为0的数 , , , , k1 k2 ks 则称向量组 k11 + k2 2 ++ ks s = 0 满足： s , , , 1 2 线性相关； 否则称为线性无关
向量空间中关于向量组的线性相关与线性 无关的有关结论,在线性空间也成立例如 定理1在线性空间V中向量组a1,a2,…,an线性无 关,而向量组ax1,…,an,B线性相关,则向量B必能由 向量组ax1,…,an线性表示,且表示法唯 已知:在R中,线性无关的向量组最多由n 牛个向量组成,而任意7+1个向量都是线性相关的 问题:线性空间的一个重要特征—在线性空 间V中,最多能有多少线性无关的向量? 上页
, , , . , , , , , 1 V , , , , 1 1 1 2 向量组 线性表示 且表示法唯一 关 而向量组 线性相关 则向量 必能由 定理 在线性空间 中向量组 线性无 m m m 向量空间中关于向量组的线性相关与线性 无关的有关结论,在线性空间也成立.例如 已知：在 中，线性无关的向量组最多由 个向量组成，而任意 个向量都是线性相关的． R n n n + 1 问题：线性空间的一个重要特征——在线性空 间 V 中，最多能有多少线性无关的向量？
定义2在线性空间中,如果存在n个向量 aC 庄满足 290n 王0a1,a,…a线性无关 王(2)中任一向量a总可由a,a,线性 表示 那末,ax1,a2…,an就称为线性空间v的一个 王基m称为线性空间的维数 注零空间没有基,规定其维数为0. 上页
(1) , , , ; 1 2 n线性无关 , . , , , , 1 2 基 称为线性空间 的维 数 那末 就称为线性空间 的一个 n V n V , (2) , , , 1 2 表示 V中任一向量总可由 n线性 定义2 在线性空间 中，如果存在 n 个向量 n , , , 1 2 满足： V 注 零空间没有基,规定其维数为0
维数为n的线性空间称为n维线性空间记作l n 当一个线性空间V中存在任意多个线性无关 的向量时,就称V是无限维的 若an1,a2…,an为V的一个基则Vn可表示为 王V==xa1+xa2+…+x以x1,,,x∈R 上页
, . 维数为n的线性空间称为n 维线性空间 记作Vn 若1 , 2 , , n为Vn的一个基,则Vn可表示为 Vn = = x11 + x22 ++ xnn x1 , x2 , , xn R 当一个线性空间 中存在任意多个线性无关 的向量时，就称 是无限维的． V V