庄第6章矩阵的对角化问题 6.1特征值与特征向量 6.1.1特征值与特征向量的基本概念 6.1.2特征值与特征向量的求法 6.1.3特征值与特征向量的性质 上页
第6章 矩阵的对角化问题 6.1 特征值与特征向量 6.1.1 特征值与特征向量的基本概念 6.1.2 特征值与特征向量的求法 6.1.3 特征值与特征向量的性质
61.1、特征值与特征向量的概念 定义6-1设A是m阶矩阵如果数和n维非零列向量 使关系式 Ax=ax 成立那末这样的数称为方阵A4的特征值非零向 量κ称为4的对应于特征值的特征向量 工工工 说明1.特征向量≠0,特征值问题是对方阵而的 2.n阶方阵4的特征值,就是使齐次线性方程组 (4-aE)x=0有非零解的值,即满足方程4-AE =0的都是矩阵A的特征值 上页
说明 1.特征向量x 0,特征值问题是对方阵而言的. ( ) 0 . 0 , 2. , 的 都是矩阵 的特征值 有非零解的 值 即满足方程 阶方阵 的特征值 就是使齐次线性方程组 A A E x A E n A = − = − 6.1.1、特征值与特征向量的概念 . , , , 6 1 , 量 称 为 的对应于特征值 的特征向量 成 立 那 末 这样的数 称为方阵 的特征值 非零向 使关系式 定 义 设 是 阶矩阵 如果数 和 维非零列向量 x A A A x x A n n x = −
3.A-E=0 12 In 21 22 2n=0 nI n2 称以为未知数的一元m次方程A-E=0 为4的特征方程 记f(4)=A-E,它是的次多项式称其 为方阵4的特征多项式 上页
3. A − E = 0 0 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 = − − − n n nn n n a a a a a a a a a 称 以为未知数的一元 n次方程 A− E = 0 为A的 特征方程 . 记 f () = A− E ,它是的n次多项式,称其 为方阵A的 特征多项式
庄4如果a,a2,…,a都是A的属于 特征值λ的特征向量,那末任傅 王零线性组合 =k1a1+k2C2+…+k2C、(≠0) 牛+也是属于特征值的特征向量,其 中k1,k2,…,k,为不全为零的常数。 上注:特征向量不惟一 上页
中 为不全为零的常数。 也是属于特征值 的特征向量，其 （ ） 零线性组合 特征值 的特征向量，那末任何非 、如果 ， ， ， 都 是 的属于 n n s s k k k k k k , , , 0 4 A 1 2 0 1 1 2 2 0 1 2 = + + + 注：特征向量不惟一
6.12、特征值与特征向量的求法 求特征值、特征向量的步骤: 牛()|A-E=0即可求出特征值九; (2)4x=x→(4-E)x=0 牛把得到的特征值代入上式 求齐次线性方程组A-E)x=0的一个基础 解系 上页
求特征值、特征向量的步骤： (1) 0 A E − = 即可求出特征值 ; (2) Ax x = − = ( A E x ) 0 把得到的特征值 代入上 式， 求齐次线性方程组 ( A E x − = ) 0 的一个基础 x 解系 6.1.2、特征值与特征向量的求法