(2)L:x=(y)c≤y≤d ,f(x,y)=.f1(m),y11+2(y)小 (c<d 广:I:x=q(t),y=y(t),z=0(1).(a≤tsB) f(r,v, z)ds B l(.y(,o(o)yp()+y2()+o0(t (a<B) 由此可见,关于弧长的曲线积分的计算公式,是先导出用 参数方程表示的平面曲线的公式,然后再将它推广到用 直角坐标方程表示的平面曲线和用参数方程表示的空间 曲线
推广: : x = (t), y =(t), z =(t). ( t ) ( ) [ ( ), ( ), ( )] ( ) ( ) ( ) ( , , ) 2 2 2 = + + f t t t t t t dt f x y z ds (2) L : x = ( y) c y d. ( , ) [ ( ), ] 1 ( ) . 2 f x y ds f y y y dy d L c = + (c d ) 由此可见，关于弧长的曲线积分的计算公式,是先导出用 参数方程表示的平面曲线的公式，然后再将它推广到用 直角坐标方程表示的平面曲线和用参数方程表示的空间 曲线
例1。计算 (x y)ds, I: a(cost+ tsin t y=a(sint- t cos t)0≤t≤2x 解 x +y= 2a, dx= at cos tat, dy= at sin tdt ds= atdt,(x+ y)ds 2a2·atat=4丌 23 a
例1。计算 ( ) , : (cos sin ) 2 2 x y ds L x a t t t L + = + y = a(sint − t cost),0 t 2 解： x y 2a ,dx at costdt,dy at sintdt 2 2 2 + = = = = + = = L d s atdt x y d s a atdt a 2 0 2 2 2 2 3 , ( ) 2 4
例2求=yb, 4x 其中L:y2=4x,从(1,2)到(1,-2)一段 0.511.52 解1=21+(b=0 2 例3求/=「 lz,其中 T:x=acos 0, y=asin 0, z=k的一段.(0≤0≤2m) 解 T 201-2 a2 cos esin.kO、a2+k2d akva+kosin 20d0 (分部积分) tka2a2+k2 2
例 2 : 4 , (1,2) (1, 2) . , 其中 2 从 到 一段 求 = − = L y x I yds L 解 dy y I y 2 22 ) 2 = 1 + ( − = 0 . 例 3 . (0 2 ) , : cos , sin , = = = = 的一段 求 其中 z kI xyzds x a y a 解 . 21 2 2 2 = − ka a + k y 4x 2 = a k a k d 2 2 2 cos sin + = 20 I a k a k d = + 20 2 2 2 sin 2 21 （分部积分）
例4求=x 其中r为圆周 x ty +z =a, x+y+z=0 解由对称性,知=yh= 故=(x2+y2+2) 3 ds 2Ta (2ma=[d,球面大圆周长) 3 3 对于用一般方程表示的空间曲线,要计算函数对弧长的曲 线积分是比较困难的,有时要结合一些小的技巧才能使计算 较为简易
例4 + + = + + = = 0. , , 2 2 2 2 2 x y z x y z a I x ds 其中 为圆周 求 解 由对称性, 知 . 2 2 2 x ds = y ds = z ds I = (x + y + z )ds 3 故 1 2 2 2 = ds a 3 2 . 3 2 3 a = (2 ,球面大圆周长) a = ds 对于用一般方程表示的空间曲线，要计算函数对弧长的曲 线积分是比较困难的，有时要结合一些小的技巧才能使计算 较为简易
四、几何与物理意义 (1)当p(x,y)表示L的线密度时, M=Lp(x, y)ds (2)当∫(x,y)=1时,L=; f(x,y) (3)当f(x,y)表示立于L上的「 柱面在点(x,y)处的高时, 柱面面积 f(x,) L
四、几何与物理意义 (1) 当(x, y)表示L的线密度时, ( , ) ; = L M x y ds (2) ( , ) 1 , ; = L f x y L ds 当 时 弧长 ( , ) , (3) ( , ) 柱面在点 处的高时 当 表示立于 上的 x y f x y L ( , ) . = L S柱面面积 f x y ds s L z = f (x, y)