第7节 高斯公式通量与散度
第7节 高斯公式 通量与散度
高斯公式 设空间闭区域Q由分片光滑的闭曲面Σ围成 函数P(x,y,z)、Q(x,y,z)、R(x,y,z)在2上具有 阶连续偏导数,则有公式 (++12)m=的h+Qh+R 或OPa,aR,x +odv ox ay a Pesa+ Acos+ ROSY)dS(证略 这里∑是的整个边界曲面的外侧, c0sa,cOsB,c0sy是∑上点(x,y,z)处的法向 量的方向余弦.如果∑是Ω的内侧,左端要加负号
设空间闭区域由分片光滑的闭曲面Σ围成, 函数P( x, y,z)、Q( x, y,z)、R( x, y,z)在 上具有 一阶连续偏导数, 则有公式 = + + + + dv Pdydz Qdzdx Rdxdy z R y Q x P ( ) 一、高 斯 公 式 P Q R dS dv z R y Q x P ( cos cos cos ) ( ) = + + + + 或 这里是的整个边界曲面的外侧， cos,cos ,cos 是上点(x, y,z)处的法向 量的方向余弦. 如果 是的内侧，左端要加负号。 （证略）
Gauss公式的实质 OP a0 OR s art a +o)dy=H Pdyd=+Od=dx+Rdxdy (P cos a +O cos B+Rcos y)ds. 表达了空间闭区域上的三重积分与其边界 曲面上的曲面积分之间的关系 从而可将曲面积分转化成三重积分来计算
Gauss公式的实质 表达了空间闭区域上的三重积分与其边界 曲面上的曲面积分之间的关系. ( cos cos cos ) . ( ) = + + + + P Q R dS dv z R y Q x P = Pdydz +Qdzdx + Rdxdy 从而可将曲面积分转化成三重积分来计算
简单的应用 例1计算曲面积分 ∫e (x-y)dxdy+(y-z)xdydz E 其中∑为柱面x2+y2=1及平 面名=0,乙=3所围成的空间闭 区域2的整个边界曲面的外侧 解:P=(y-2)x,Q=0,x R=x-y
二、简单的应用 例1 计算曲面积分 (x − y)dxdy + ( y − z)xdydz 其中Σ为柱面 1 2 2 x + y = 及平 面z = 0,z = 3所围成的空间闭 区域的整个边界曲面的外侧. x o z y 1 1 3 解： , ( ) , 0, R x y P y z x Q = − = − =
aP a J-3 Qv=o, Op 0 z 原式=(y-)dcd 利用柱面坐标得) dxdvdz do rdr zdz 9
, 0, = 0, = = − z R y Q y z x P 原式 = ( y − z)dxdydz . 2 9 = − (利用柱面坐标得) x o z y 1 1 3 = − zdxdydz = − 2 0 1 0 3 0 d rdr zdz