第三节 幂级数
、函数项级数的一般概念 1.定义 设u1(x),u2(x),…,un(x)是定义在/cR上的 函数则∑un(x)=1(x)+n2(x)+ +L.(x)+ 称为定义在区间I上的(函数项)无穷级数 例如级数∑x=1+x+x2+ H=0
1.定义: 设u1 (x),u2 (x),,un (x),是定义在I R上的 函数,则 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 u x u x u x un x n n 称为定义在区间I上的(函数项)无穷级数. 1 , 2 0 x x x n 例如级数 n
2.收敛点与收敛域: 如果x0∈I,数项级数∑un(x)收敛 n=1 则称x为级数∑n(x)的收敛点,否则称为发散点 H=1 函数项级数∑u1(x)的所有收敛点的全体称为收敛域, 所有发散点的全体称为发散域
2.收敛点与收敛域: 如果x I 0 ,数项级数 1 0 ( ) n n u x 收敛, 则称x0 为级数 ( ) 1 u x n n 的收敛点, 否则称为发散点. 所有发散点的全体称为发散域. 函数项级数 ( ) 1 u x n n 的所有收敛点的全体称为收敛域
3.和函数 在收敛域上,函数项级数的和是κ的函数s(x), 称s(x)为函数项级数的和函数 s(x)=1(x)+u2(x)+…+un(x)+…(定义域是?) 函数项级数的部分和记为s(x) 余项记为r(x)=s(x)-sn(x) 那末在收敛域上,Ims(x)=s(x)imr(x)=0 n→0 注意函数项级数在某点x的收敛问题实质上 是常数项级数的收敛问题
lim s (x) s(x) n n 函数项级数的部分和记为 余项记为 r (x) s(x) s (x) n n 那末在收敛域上， lim ( ) 0 r x n n 注意 函数项级数在某点x的收敛问题,实质上 是常数项级数的收敛问题. 3.和函数: s(x) u1 (x) u2 (x) un (x) 在收敛域上,函数项级数的和是x 的函数s(x), 称s(x)为函数项级数的和函数. (定义域是?) s (x), n
例1求级数∑(1 mn1+-)"的收敛域 解由达朗贝尔判别法 ux n+1 (n→>∞) u(x n+11+x (1)当 1+x <1,→1+x> 即x>0或x<-2时,原级数绝对收敛
例 1 求级数 n n n n x ) 1 1 ( ( 1) 1 的收敛域. 解 由达朗贝尔判别法 ( ) ( ) 1 u x u x n n n x n 1 1 1 ( ) 1 1 n x 1, 1 1 (1) x 当 即 x 0或x 2时, 原级数绝对收敛. 1 x 1