第八章 第一节 二重积分的概念与性质
第八章 第一节 二重积分的概念与性质
、问题的提出 曲顶柱体的体积 柱体体积=底面积×高 ∫(x,y 柱体体积=? 特点:曲顶 D 曲顶柱体
柱体体积=底面积×高 特点：平顶. 柱体体积=？ 特点：曲顶. z = f (x, y) D １．曲顶柱体的体积 一、问题的提出
步骤如下: 先分割曲顶柱体的底, 并取典型小区域, z=f(x y) 用若干个小平 顶柱体体积之 和近似表示曲 y (512n) 顶柱体的体积, 曲顶柱体的体积=m/(51m)a ->0
步骤如下： 用若干个小平 顶柱体体积之 和近似表示曲 顶柱体的体积， x z y o D z = f (x, y) i • ( , ) i i 先分割曲顶柱体的底， 并取典型小区域， lim ( , ) . 1 0 i i n i i V f = = → 曲顶柱体的体积
2.求平面薄片的质量 设有一平面薄片,占有xOy面上的闭区域 D,在点(x,y)处的面密度为p(x,y),假定 p(x,y)在D上连续,平面薄片的质量为多少? 将薄片分割成若干小块, 取典型小块,将其近似 看作均匀薄片, △o 所有小块质量之和 近似等于薄片总质量M=m>P(5,m)A -0
设有一平面薄片，占有xoy面上的闭区域 D，在点(x, y)处的面密度为( x, y)，假定 ( x, y)在D上连续，平面薄片的质量为多少？ ２．求平面薄片的质量 i • ( , ) i i 将薄片分割成若干小块， 取典型小块，将其近似 看作均匀薄片， 所有小块质量之和 近似等于薄片总质量 lim ( , ) . 1 0 i i n i M i = = → x y o
二、二重积分的概念 定义设f(x,y)是有界闭区域D上的有界函 数,将闭区域D任意分成n个小闭区域△ △a2,…,△on,其中△G1表示第i个小闭区域, 也表示它的面积,在每个A2上任取一点 (5,n), 作乘积f(4,m1)△G1 (i=1,2,,n), 并作和∑f(5,m)△o1
定 义 设 f ( x, y)是有界闭区域D 上的有界函 数，将闭区域D 任意分成n个小闭区域 1 ， 2 , ， n，其中 i 表示第i个小闭区域， 也 表 示 它 的 面 积 ， 在 每 个 i 上 任 取 一 点 ( , ) i i ， 作乘积 ( , ) i i f i， (i = 1,2,,n)， 并作和 i i n i i f = ( , ) 1 ， 二、二重积分的概念