第六节方向导数和梯度
第六节 方向导数和梯度
方向导数 1.定义设函数z=r,y,由点cs,y引射线,t与x 轴正向的夹角为,p(x+△x,y+△y)是射线上的另一点,定 义函数a=r,9在点B沿方向c的方向导数为 2=1+A,y+△y<r,p,其中p=x+y2 ?l p 0 当射线(是x轴的正向,即(={1,0)时,2=x, 当射线(是x轴的反向,即(={-1,0)时,2x= 当射线是y轴的正向,即(={0,1}时,2=f2 当射线(是y轴的反向,即={0,-1}时, 90 因此,偏导数是方向导数的特殊情况
一．方向导数 1．定义 设函数z = f(x, y)，由点P(x, y)引射线l ，l 与 x 轴正向的夹角为f ，p(x + Dx, y + Dy)是射线l 上的另一点，定 义函数z = f(x, y)在点P(x, y)沿方向 l的方向导数为 ?l ?f = 0 lim r ? r f(x + Dx, y + Dy) - f(x, y)，其中 2 2 r = (Dx) + (Dy) 当射线 l 是 x 轴的正向，即 l ={1 ， 0} 时， ? l ?f = fx ， 当射 线 l 是 x 轴的反向，即 l ={ - 1 ， 0} 时， ? l ?f = -fx 当射线 l 是 y 轴的正向，即 l ={0 ， 1} 时， ? l ?f = fy 当射线 l 是 y 轴的反向，即 l ={0 ， - 1} 时， ? l ?f = -fy 因此，偏导数是方向导数的特殊情况
2.计算定理如果函数z=x(x,y),在点P(x,y可微,那末函 数在该点沿任一方向的方向导数都存在,且有 2=0+s1n,其中为x轴正向到方向的转角。 上述定理可推广到三元函数u=(xy,2), 有=1csa+ fy cos B+cosy,其中cosa,cosB,cosy分 20 别是方向C的方向余弦
2．计算 定理如果函数z = f(x, y)，在点P(x, y)可微，那末函 数在该点沿任一方向的方向导数都存在，且有 ?l ?f =fx cos f +fy sin f ，其中f 为 x 轴正向到方向 l 的转角。 上述定理可推广到三元函数 u = f(x, y,z)， 有 ?l ?f =fx cosa +fy cos b +fz cos g ，其中cosa ，cos b ，cos g 分 别是方向 l的方向余弦
例1.求函数z=xe2在点P(1,0)处沿从P(1,0)到点Q (2,-1)方向的方向导数。 解:(={2-1,-1-0=1,-1},tan=-1,9=-x,E=e, ,=2×e2y,2=E,0c0+,0.0n=2-=y 2 例2.求函数=1+2)在点(处沿曲线 x+y=1在这点的内法线方向的方向导数。 解: 设 F(x, y) 1
例 1．求函数 y z xe 2 = 在点 P（1，0）处沿从P（1，0）到点Q （2，-1）方向的方向导数。 解：l ={2-1，-1-0}={1，-1}，tan f = -1， 4 p f = - ，fx = y e 2 ， fy = y xe 2 2 ， ?l ?f =fx (1,0)cos f +fy (1,0)sin f = 2 2 - 2 =- 2 2 例 2 ．求函数 1 ( )2 2 2 2 b y a x z = - + 在点 M ) 2 , 2 ( a b 处沿曲线 1 2 2 2 2 + = b y a x 在这点的内法线方向的方向导数。 解：zx ) 2 , 2 ( a b = a 2 - ，zy ) 2 , 2 ( a b = b 2 - ， 设 ( , ) 1 2 2 2 2 = + - b y a x F x y
由隐函数求导公式可得F=2x,F.=2,因此,曲线 +y=1过点(x,y)的切线的斜率为 法线的斜率为 dx bex y?( =2,注意到内法线方向对应的夹角在第三象限,日 tan e 可得 cos e va +> sing= ,因此 Va+ b b )+(-2)( 2(a2+b2) √a2+b b √a+b ab
由隐函数求导公式可得 2 2 a x Fx = ， 2 2 b y Fy = ，因此，曲线 1 2 2 2 2 + = b y a x 过点（x,y）的切线的斜率为 a y b x F F dx dy y x 2 2 = - = - ， 法线的斜率为 b x a y dx dy 2 2 = ， y? ) 2 , 2 ( a b = b a ，注意到内法线方向对应的夹角在第三象限，由 b a tan q = ，可得 cos q = 2 2 a b b + - ,sin q = 2 2 a b a + - ，因此， = ? ? M z l ( a 2 - )( 2 2 a b b + - )+( b 2 - )( 2 2 a b a + - )= ab 2(a b ) 2 2 +