第六节 对坐标的曲面积分
第六节 对坐标的曲面积分
基本概念 观察以下曲面的侧(假设曲面是光滑的) 曲面分上侧和下侧曲面分内侧和外侧 (非封闭曲面) (封闭曲面) 决定了侧的曲面称为有向曲面 有向曲面的侧是由曲面法向量的指向决定的
一、基本概念 观察以下曲面的侧 (假设曲面是光滑的) 曲面分上侧和下侧 曲面分内侧和外侧 （非封闭曲面） （封闭曲面） 决定了侧的曲面称为有向曲面. 有向曲面的侧是由曲面法向量的指向决定的
曲面的投影问题:(计算对坐标的曲面积分时要把曲面积 分化成二重积分,涉及曲面在坐标面上的投影问题) 在有向曲面∑上取一小块曲面△S,△S在xo面 上的投影(△S)为 (△G)y当cosy>0时 (AS)y={-(△a)当cosy<0时 0 当cosy=0时 其中(△)表示投影区域的面积类似地有: (△a)1-,cosa>0 (△a)=,cOsB>0 (△S) 0 cos a=0 AS)==10.,cos=0 (△o)y=,Cosa<0 -(△G)x=,CosB<0 其中C,B,y 分别是曲面在点(x,y,z)的法线向量与X,Y,Z轴正向的夹角
曲面的投影问题:（计算对坐标的曲面积分时要把曲面积 分化成二重积分，涉及曲面在坐标面上的投影问题） 在有向曲面Σ上取一小块 , S在xoy面 . 0 cos 0 ( ) cos 0 ( ) cos 0 ( ) = − = 当 时 当 时 当 时 x y x y S x y 其中( ) 表示投影区域的面积. xy 上的投影(S) xy为 曲面 S 分别是曲面在点（x,y,z)的法线向量与X，Y，Z轴正向的夹角 类似地有： (S) yz = − = ( ) , cos 0 0,cos 0 ( ) , cos 0 yz yz − = = ( ) ,cos 0 0,cos 0 ( ) ,cos 0 ( ) xz xz S xz 其中 , ,
、概念的引入 实例:流向曲面一侧的流量 (1)流速场为常向量ν,有向平面区域A,求单位 时间流过A的流体的质量(假定密度为1) 流量 ①= Av cos =Ap·n=p·A
二、概念的引入 实例: 流向曲面一侧的流量. (1) 流速场为常向量 v ,有向平面区域 A,求单位 时间流过 A 的流体的质量 (假定密度为 1). A v 0 n A Av n v A Av = = = 0 cos 流量
(2)设稳定流动的不可压缩流体(假定密度为1) 的速度场由 v(x,y,)=P(x,y, z)i+o(x, y, j+R(x, y, z)k 给出,Σ是速度场中的一片有向曲面,函数 P(,v,z),o(x,y,4), R(x, y,) 都在Σ上连续,求在单位 时间内流向Σ指定侧的流 体的质量
(2) 设稳定流动的不可压缩流体(假定密度为 1) 的速度场由 v x y z P x y z i Q x y z j R x y z k ( , , ) = ( , , ) + ( , , ) + ( , , ) 给出,Σ是速度场中的一片有向曲面,函数 P( x, y,z), Q( x, y,z), R( x, y,z) 都在Σ上连续, 求在单位 时间内流向Σ指定侧的流 体的质量 . x y z o