第二节审敛法 6.比值审敛法(达朗贝尔 D'Alembert判别法): 设∑4n是正项级数,如果Iim“+=p(p数或+∞) n→ n=1 则p<1时级数收敛;p>1时级数发散;p=1时失效 证明当p为有限数时,对ve>0 彐N,当n>N时,有 .-P<E, n+1 即p-8<“n<p+E(>N)
6.比值审敛法(达朗贝尔 D’Alembert 判别法)： 设 n=1 un 是正项级数,如果lim ( ) 1 = + + → 数或 n n n u u 则 1时级数收敛; 1时级数发散; = 1 时失效. 证明 当为有限数时, 对 0, N, 当n N时, , 1 − + n n u u 有 ( ) 1 n N u u n n − + + 即 第二节 审敛法
即p-E<m<p+E(n>N) 当<时,取<1-p,使r=E+p<1, 2< N+19 UN+3 <rN+2 <rN+1… N+m p-l ax+1,而级数∑rma+收敛 H=1 ∑u+m=∑u收敛, n=N+1 当p>时,取<p-1,使r=p-8>1 当n>N时,un+1>rn>un,limn≠0
当 1时, 当 1时, 取 1− , 使r = + 1, , 1 1 + − + N m uN m r u , N +2 N +1 u ru , 1 2 N +3 N +2 uN + u ru r , , 1 1 1 = + − m N m 而级数 r u 收敛 , 1 1 收敛 = + = + = n N u m uN m u 收敛 取 −1, 使r = − 1, 当n N时, , n 1 n un u + ru lim 0. → n n u 发散 ( ) 1 n N u u n n − + + 即
北值审敛法的优点:不必找参考级数 两点注意: 1.当p=1时比值审敛法失效; 例级数∑发散, (=1) 级数∑立收敛, 但两个级数都有 n→ 即两个级数都是O=1
比值审敛法的优点: 不必找参考级数. 两点注意: 1.当 = 1时比值审敛法失效; , 1 1 例 级数 发散 n= n , 1 1 级数 2 收敛 n= n ( = 1) 但两个级数都有 n → lim 1 1 = + n n u u 即两个级数都是 =1
2.条件是充分的,而非必要 例 2+(-1)3 2 2 15 级数∑n=∑2m”收敛 但 un12+(-1)m n2(2+(-1)") n2 lim a 2n n→00 3 lim a2n+1 2 ∴lim-n+1=ima,不存在 n→00 n→00
, 2 3 2 2 ( 1) n n n n n u = v + − 例 = , 2 2 ( 1) 1 1 级数 收敛 = = + − = n n n n un , 2(2 ( 1) ) 2 ( 1) 1 1 n n n n n a u u = + − + − = + 但 + , 6 1 lim 2 = → n n a , 2 3 lim 2 +1 = → n n a lim lim . 1 n 不存在 n n n n a u u → + → = 2.条件是充分的,而非必要
例4判别下列级数的收敛性: ∑ (2)∑ ∑ n=1 10 =(2n-1)·2n 解(1) ,n+1 (n+1)!1 →0(n→>∞) n n+1 故级数∑收敛 H=1
例 4 判别下列级数的收敛性: (1) =1 ! 1 n n ; (2) =1 10 ! n n n ; (3) = − 1 (2 1) 2 1 n n n . 解 (1) ! 1 ( 1)! 1 1 n n u u n n + = + 1 1 + = n → 0 (n → ), . ! 1 1 故级数 收敛 n= n