第四节 函数的幂级数展开式
第四节 函数的幂级数展开式
、泰勒级数 上节告诉我们 幂级数在其收敛域内有一个和函数,把这句话反过来 说,就是这个和函数在收敛域内可以展开成幂级数。 我们的问题是:任意给定的函数f(x) 1在什么条件下才能展开成幂级数? f(x)=2 2.如果能展开n是什么?3展开式是否唯
一、泰勒级数 上节告诉我们： n n f (x) an (x x ) 0 0 = − = 幂级数在其收敛域内有一个和函数，把这句话反过来 说，就是这个和函数在收敛域内可以展开成幂级数。 我们的问题是：任意给定的函数f(x) 2. 如果能展开, an 是什么? 3.展开式是否唯一? 1.在什么条件下才能展开成幂级数?
定理1如果函数f(x)在U。(x0)内具有任意阶导 数,且在U。(xa)内能展开成(x=x0)的幂级数 oO 即f(x)=∑an(x-x0) 则其系数an=f((x0)(n=0,1,2,…) 且展开式是唯一的 oo 证明∑a1(x-x0)在n(x收敛于f(x),即 n-=0 f(x)=a0+a1(x-x0)+…+an(x-x0)2+
证明 ( 0 ) 在 ( 0 )内收敛于 ( ),即 0 a x x u x f x n n n − = f (x) = a0 + a1 (x − x0 ) ++ an (x − x0 ) n + 定 理 1 如果函数 f (x)在 ( ) U x0 内具有任意阶导 数, 且在 ( ) U x0 内能展开成( ) x − x0 的幂级数, 即 n n n f (x) a (x x ) 0 0 = − = 则其系数 ( ) ( 0,1,2, ) ! 1 0 = f ( ) x n = n a n n 且展开式是唯一的. （定理1回答了问题2和问题3）
逐项求导任意次,得 f(x)=a1+2a2(x-x0)+:+man(x=x0)+ (n(x)=nlan+(n+1)n…3:2an+1(x-x0)+ 令 x=x因 09 甲得 f(x0)(n=0.12,)泰勒系数 n 泰勒系数是唯一的,f(x)的展开式是唯一的
f (n) (x) = n!an + (n + 1)n3 2an+1 (x − x0 ) + 令 x = x0 , 即得( ) ( 0,1,2, ) ! 1 0 = f ( ) x n = n a n n 泰勒系数是唯一的, f (x)的展开式是唯一的. f (x) = a1 + 2a2 (x − x0 ) ++ nan (x − x0 ) n−1 + 逐项求导任意次,得 泰勒系数
定义 如果f(x)在点x0处任意阶可导,则幂级数 20m(x-10)“称为f(x)在点x的泰勒级数 ∑ f(0 x”称为f(x)在点x=0的麦克劳林级数 n=0 问题:只要函数x)在已知点任意阶可导,f(x) 在该点的泰勒级数总是可以写出的 那末这个泰勒级数在收敛区间内是否 定收敛于fx)呢? 即f(x)?∑ f(o) 不一定 =0
如果 f (x)在点 0 x 处任意阶可导,则幂级数 n n n x x n f x ( ) ! ( ) 0 0 0 ( ) − = 称为f (x) 在点x0的泰勒级数. n n n x n f =0 ( ) ! (0) 称为 f ( x)在点x0 = 0的麦克劳林级数. n n n x x n f x f x ( ) ! ( ) ( ) ? 0 0 0 ( ) − = = = 定义 只要函数f(x)在已知点任意阶可导，f(x) 在该点的泰勒级数总是可以写出的， 那末这个泰勒级数在收敛区间内是否 一定收敛于f(x)呢? 即 不一定. 问题：