荆州职业技术学院：《高职高专应用数学》课程教学资源（PPT课件讲稿）第八章 二重积分（8.8）斯托克斯公式环流量与旋度

第八节 斯托克斯公式环流量与旋度

第八节 斯托克斯公式 环流量与旋度

斯托克斯( stokes)公式 定理为分段光滑的空间有向闭曲线是以 为边界的分片光滑的有向曲面,r的正向与 的侧符合右手规则,函数P(x,y,z),Q(x,y,z) R(x,y,z)在包含曲面在内的一个空间区域内具 有一阶连续偏导数,则有公式 O OP OR )dzdx + dc小y ax O1 斯托克斯公式 (注意:在斯托克斯公式中,是封闭曲线,∑不 是封闭曲面)

定理 设 为分段光滑的空间有向闭曲线, 是以 为边界的分片光滑的有向曲面, 的正向与 的侧符合右手规则, 函数P( x, y,z),Q( x, y,z), R( x, y,z)在包含曲面 在内的一个空间区域内具 有一阶连续偏导数, 则有公式 一、斯托克斯(stokes)公式 dxdy y P x Q dzdx x R z P dydz z Q y R ( ) ( ) ( )   −   +   −   +   −       = Pdx + Qdy + Rdz 斯托克斯公式 （注意：在斯托克斯公式中， 是封闭曲线， 不 是封闭曲面）  

证明的思路(证略): 曲面积分二重积分曲线积分 右手法则 ∑ z=f(x,y) J 是有向曲面∑的 正向边界曲线

x y z o ( , ) :  z = f x y Dxy  C n  证明的思路（证略）： 曲面积分 1 二重积分 2 曲线积分 n    是有向曲面 的 正向边界曲线   右手法则

为便于记忆,斯托克斯公式可写成如下形式 dydz dzdx dxdy aa 一P+Q0+Rh O R 另一种形式是: COS s=Ph+Qa小y+Rd

   = + +       Pdx Qdy Rdz P Q R x y z dydz dzdx dxdy    = + +       ds Pdx Qdy Rdz P Q R x y z cos cos  cos 另一种形式是： 为便于记忆，斯托克斯公式可写成如下形式：

斯托克斯公式的又一种形式 OP aR 00 aP )cosa+ )cos B+ )cosr las O az ax ax a +Ocos u+ R cost )ds 其中 2的单位法向量为n= cos aL+ cos Bj+ cosy k, r的单位切向量为t= cos ai+ cosay+ cosvk

斯托克斯公式的又一种形式 其中 n cos i cos j cos k,     的单位法向量为 =  +  +  t i j k     的单位切向量为 = cos + cos + cos dS y P x Q x R z P z Q y R [( )cos ( )cos  ( )cos ]   −   +   −   +   −     (Pcos Qcos Rcos )ds   = + +