注意: 1.若L(或)是分段光滑的,(L=L1+L2)8 2.函数f(x,y)在闭曲线L上对弧长的 曲线积分记为f(x,y)
注意： 1. ( ) , ( ) 若 L 或 是分段光滑的 L = L1 + L2 ( , ) ( , ) ( , ) . 1 2 1 2 = + L +L L L f x y ds f x y ds f x y ds ( , ) . 2. ( , ) L f x y ds f x y L 曲线积分记为 函 数 在闭曲线 上对弧长的
注意: 1.若L(或)是分段光滑的,(L=L1+L2)8 2.函数f(x,y)在闭曲线L上对弧长的 曲线积分记为f(x,y)
注意： 1. ( ) , ( ) 若 L 或 是分段光滑的 L = L1 + L2 ( , ) ( , ) ( , ) . 1 2 1 2 = + L +L L L f x y ds f x y ds f x y ds ( , ) . 2. ( , ) L f x y ds f x y L 曲线积分记为 函 数 在闭曲线 上对弧长的
4.性质 ()JU(x,)+(x,)=f(x,y)士8(x (2),f(x,y)s=k,f(x,y)ds(k为常数) (3) f(x,y)ds= f(x, y)ds+l f(x, y)ds. (L=L1+L2)
4.性质 (1) [ ( , ) ( , )] ( , ) ( , ) . = L L L f x y g x y ds f x y ds g x y ds (2) kf (x, y)ds k f (x, y)ds (k为常数). L L = (3) ( , ) ( , ) ( , ) . 1 2 = + L L L f x y ds f x y ds f x y ds ( ). L = L1 + L2
对弧长曲线积分的计算 定理设f(xy)在曲线弧L上有定义且连续, L的参数方程为 =(a≤t≤B)其中 y=v() 9(),v(1)在a,B上具有一阶连续导数,且 1f(xy)hb=Jno(,y(o)p"()+v(nht (a<B) 其中弧微分ds=Vx2+(ay?2=1+[y(x)dx V1+[x'(y) ]dy= Vo(t)12+ Ly(t)]dt x2()+x()a6
三、对弧长曲线积分的计算 定理 ( ) ( , ) [ ( ), ( )] ( ) ( ) ( ), ( ) [ , ] , ( ) ( ), ( ), ( , ) , 2 2 = + = = f x y ds f t t t t dt t t t y t x t L f x y L L 在 上具有一阶连续导数 且 的参数方程为 其中 设 在曲线弧 上有定义且连续 其中弧微分 ds dx dy y x dx 2 2 2 = ( ) + ( ) = 1 + [ ( )] x y dy t t dt 2 2 2 = 1 + [ ( )] = [( )] + [( )] r () r ()d 2 2 = +
注意: 1.定积分的下限a一定要小于上限B; 2.f(x,y)中x,y不彼此独立,而是相互有关的 L的参数方程x=0(),y=W(t 确定了一条平面曲线f(xy) (1)L:y=y(x)a≤x≤b. L(, y)ds=J, fIx, w(x)l1+v(x)dx(a<b)
注意: 1. 定积分的下限 一定要小于上限 ; 2. f (x, y)中x, y不彼此独立, 而是相互有关的. 特殊情形 (1) L : y =(x) a x b. ( , ) [ , ( )] 1 ( ) . 2 f x y ds f x x x dx b L a = + (a b) （L的参数方程 确定了一条平面曲线 x = (t),y = (t) f(x,y) = C ）