第7节 正弦级数和余弦级数
第7节 正弦级数和余弦级数
、奇函数和偶函数的傅里叶级数 般说来,一个函数的傅里叶级数既含有正弦 项,又含有余弦项但是,也有一些函数的傅里叶级 数只含有正弦项或者只含有常数项和余弦项 定理 (1)当周期为2元的奇函数f(x)展开成傅里叶级数 时,它的傅里叶系数为 a.=0 (n=0,1,2,…) f(x) sin ndx(n=1,2,…) 兀0
一、奇函数和偶函数的傅里叶级数 (1)当周期为2的奇函数 f ( x)展开成傅里叶级数 时,它的傅里叶系数为 ( )sin ( 1,2, ) 2 0 ( 0,1,2, ) 0 = = = = b f x nxdx n a n n n 定理 一般说来,一个函数的傅里叶级数既含有正弦 项,又含有余弦项.但是,也有一些函数的傅里叶级 数只含有正弦项或者只含有常数项和余弦项
(2)当周期为2兀的偶函数∫(x)展开成傅里叶级 数时,它的傅里叶系数为 2c兀 f(x)cos ndx (n=0, 1, 2, .) 兀0 (n=1,2,…) 证明(1)设/(x)是奇函数 f(x) cos ndx=0(n=0,1,2,3,…) 奇函数
(2)当周期为2的偶函数 f ( x)展开成傅里叶级 数时,它的傅里叶系数为 0 ( 1,2, ) ( )cos ( 0,1,2, ) 2 0 = = = = b n a f x nxdx n n n 证明 (1)设f (x)是奇函数, = − an f (x)cos nxdx 1 = 0 (n = 0,1,2,3, ) 奇函数
f(x)sin ndx Jo f(x)sin ndx 偶函数 1 同理可证(2) 定理证毕 定义如果f(x)为奇函数,傅氏级数∑ b, sin nx 称为正弦级数 如果f(x)为偶函数,傅氏级数0+∑ a cos nx 2 称为余弦级数
= 0 ( )sin 2 f x nxdx (n = 1,2,3, ) 同理可证(2) 定义 如果 f (x)为奇函数,傅氏级数 b nx n n sin 1 = 称为正弦级数. 如果 f (x)为偶函数, 傅氏级数 a nx a n n cos 2 1 0 + = 称为余弦级数. = − bn f (x)sinnxdx 1 偶函数 定理证毕
例1设f(x)是周期为2兀的周期函数,它在 m)上的表达式为f(x)=x,将f(x)展开成 傅氏级数 解所给函数满足狄利克雷充分条件 在点x=(2k+1)m(k=0,±1,±2,…)处不连续, 收敛于f(x-0)+f(=元+0)+(-=0 2 2 在连续点x(x≠(2k+1)m)处收敛于f(x)
例 1 设 f (x) 是周期为2 的周期函数,它 在 [−,)上的表达式为 f ( x) = x ,将f (x) 展开成 傅氏级数. 解 所给函数满足狄利克雷充分条件. 在点x = (2k +1)(k = 0,1,2, )处不连续, 2 f ( − 0) + f (− + 0) 收敛于 2 + (−) = = 0, 在连续点x(x (2k +1))处收敛于f (x)