例5 研究函数f(z)=z,g(z)=x+2yi和 h(z)=z的解析性. 解 由本节知识可知： f(z)=z2在复平面内是解析的； g(z)=x+2y处处不解析； 下面讨论h(z)=z的解析性， h(z+△z)-h(z) z0+△z2-z02 △z △z
例5 ( ) . ( ) , ( ) 2 2 2 的解析性 研究函数 和 h z z f z z g z x yi = = = + 解 由本节知识可知: ( ) ; f z = z 2 在复平面内是解析的 g(z) = x + 2 yi 处处不解析; ( ) , 2 下面讨论 h z = z 的解析性 z h z z h z ( + ) − ( ) 0 0 z z z z + − = 2 0 2 0
(30+△z)(0+△z)-0 △Z △ 0=Z0+△z+0 (1)z0=0, lim hz+△z)-(z）=0. △z→0 △z (2)z≠0， 令z+△z沿直线y-=k(x-x)趋于0， - △z Ax-iAA = 1-k △z △x+iy +i 架 1+ik
z z z z z z z + + − = 0 0 0 0 ( )( ) , 0 0 z z z z z = + + (1) 0, z0 = 0. ( ) ( ) lim 0 0 0 = + − → z h z z h z z (2) 0, z0 ( ) , 0 0 0 0 令 z + z 沿直线 y − y = k x − x 趋于 z = z z x i y x i y + − x y i x y i + − = 1 1 ik ik + − = 1 1
由于k的任意性 _1-ki △z 不趋于一个确定的值 △z1+ki lim (乙+△z)-h(zo)不存在. △z→0 △z 因此(z)=z2仅在z=0处可导，而在其他点都 不可导，根据定义，它在复平面内处处不解析
由于k的任意性, . 1 1 不趋于一个确定的值 ki ki z z + − = . ( ) ( ) lim 0 0 0 不存在 z h z z h z z + − → , , . ( ) 0 , 2 不可导 根据定义 它在复平面内处处不解析 因此 h z = z 仅在 z = 处可导 而在其他点都
例6 研究函数w= 的解析性. Z 解 因为w=1在复平面内除z=0处处可导， Z 1 且 dw dz z2 所以w在复平面内除z=0外处处解析， z=0为它的奇点
例 6 . 1 研究函数 的解析性 z w = 解 0 , 1 因为 = 在复平面内除 z = 处处可导 z w , 1 dd 2 z z w 且 = − 所以w在复平面内除z = 0外处处解析, z = 0 为它的奇点
例7研究函数f(z)=zR(z)的可导性与解析性. 解 (1)z=0, 1imf(0+△)-f0) =lim Az Re(AZ)=0, △z>0 △z △z→0 △z 故f(z)=zRe(z)在z=0处可导. (2)z≠0， f(z+△z)-f(z)(z+△z)Re(z+△z)-zR(z) △z △z
例 7 研究函数 f (z) = zRe(z)的可导性与解析性. 解 (1) z = 0, z f z f z + − → (0 ) (0) lim0 0, Re( ) lim0 = = → z z z z 故 f (z) = zRe(z)在 z = 0处可导. (2) z 0, z f z z f z ( + ) − ( ) z z z z z z z + + − = ( )Re( ) Re( )