由定理7.3.1可以得到以下推论7.6.1设是数域F上向量空间V的一个线性变换，^，^2，入，是的互不相同的本征值.又设，iis是属于本征值入，的线性无关的本征向量，"1,2,…,t,那么向量1…1s,线性无关证注意这样一个事实，的属于同一本征值入的本征向量的非零线性组合仍是?的属于本征值的一个本征向量现在设存在F中的数a11,,a1s",ai,",as,使得asin +a.s,. i,.+an.n+.+as,s=
推论7.6.1 设σ是数域F上向量空间V的一个线性变换,λ1 λ2, ⋯, λt 是σ的互不相同的本征值.又设ξi 1 ,ξi 2 ,⋯,ξisi 是属于本征值λi 的 线性无关的本征向量,i=1,2, ⋯,t,那么向量ξ11, ⋯,ξ1s1 ⋯,ξt1,⋯,ξtst 线性无关. 由定理7.3.1可以得到以下 证 注意这样一个事实, σ的属于同一本征值λ的本征向量的非 零线性组合仍是σ的属于本征值λ的一个本征向量. 现在设存在F中的数a11, ⋯,a1s1 ⋯,at1,⋯,atst ,使得 a11ξ11+ ⋯+a1s1 ξ1s1 +⋯+at1ξt1+⋯+atst ξtst = 0
令 n;=ai5i+.+ais,sisi则1+..+n=0由上面的事实，如果某一n0则n是的属于本征值入的本征向量因为入22，入，互不相同，所以由定理7.6.1，必须所有=0,1,2,..即ain5in+.+ais,5is,=0, i-1,2, ,t然而i线性无关，所以ai=.=ais,=0, i=1,2, .,t即1,线性无关
令 ηi =ai1ξi1+⋯+aisi ξisi 则 η1+⋯+ηt =0 由上面的事实,如果某一ηi ≠0,则ηi 是σ的属于本征值λi 的本征 向量.因为λ1 λ2, ⋯, λt 互不相同,所以由定理7.6.1,必须所有ηi =0 , i=1,2, ⋯,t.即 然而ξi1,⋯,ξisi 线性无关,所以 即ξ11, ⋯,ξ1s1 ⋯,ξt1,⋯,ξtst 线性无关. ai1=⋯=aisi =0, i=1,2, ⋯,t ai1ξi1+⋯+aisi ξisi =0, i=1,2, ⋯,t