42复变函数项级数 Q一、幂级数的概念 幂级数的敛散性 Q三、幂级数的运算和性质
§4.2 复变函数项级数 一、幂级数的概念 二、幂级数的敛散性 三、幂级数的运算和性质
、幂级数的概念 1.复变函数项级数 定义设{n(z)}(n=1,2,…为一复变函数序列 其中各项在区域D内有定义.表达式 ∑f(z)=f(z)+(x)+…+f(z)+ 称为复变函数项级数记作∑(z)
一、幂级数的概念 1.复变函数项级数 定义 设{ f (z)}(n = 1,2, )为一复变函数序列, n = + ++ + = ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 f z f z f z f z n n n 其中各项在区域 D内有定义.表达式 称为复变函数项级数, 记作 ( ). 1 n= n f z
级数最前面m项的和 Sn(x)=f1(x)+f2(x)+…+∫n(x) 称为这级数的部分和 和函数 如果对于D内的某一点,极限lmsn(zn)=s() n→o 存在那么称级数∑f()在收敛,s(z)称为 它的和
( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 s z f z f z f z n = + ++ n 称为这级数的部分和. 级数最前面n项的和 和函数 . , ( ) , ( ) , lim ( ) ( ) 0 0 1 0 0 0 它的和 存 在 那么称级数 在 收 敛 称 为 如果对于 内的某一点 极 限 f z z s z D z s z s z n n n n = → =
如果级数在D内处处收敛,那么它的和一定 是z的一个函数(z): s(x)=f1(x)+∫2(x)+…+fn(z)+ 称为该级数在区域D上的和函数
s(z) = f1 (z) + f2 (z) ++ fn (z) + 称为该级数在区域D上的和函数. 如果级数在D内处处收敛, 那么它的和一定 是 z的一个函数 s(z):
co 例1求级数∑"=1+x+z2+…+x"+ 0 的收敛范围与和函数 解级数的部分和为 S=1+z+x+…+a^n1,7 (z≠1) <1 limsn1-k 1→级数∑“收敛, ≥1 limz"≠0 n→0 级数∑z"发散 H=0 收敛范围为一单位圆域z<1, 且有 1+z+z2+…+z"+ 1-z
例1 求级数 = + + ++ + = n n n z z z z 2 0 1 的收敛范围与和函数. 解 级数的部分和为 , ( 1) 1 1 1 2 1 − − = + + + + = − z z z s z z z n n n z 1 z sn n − = → 1 1 lim 级数 n=0 n z 收敛, z 1 lim 0 → n n z 级数 n=0 n z 发散. 收敛范围为一单位圆域 z 1, 且有 1 . 1 1 = + + 2 ++ + − n z z z z