《最优化方法》课程教学资源（PPT课件）约束最优化问题的最优性条件（刘二永）

理论部分 约束最优性条件

理论部分 约束最优性条件

等式约束问题 minf(x)x∈R"(1) st c,(x)=0i∈E

等式约束问题 min ( ) (1) n f x xR st. ci (x) = 0 iE = 1,2, l

一阶必要条件 定理1:若(1)x*是等式约束问题的局部最优解; (2)f(x)与c(x)(i=1,2,)在x的某邻域内 连续可微; (3)c,(x)(i=1,2,)线性无关; 则存在一组不全为零的实数x,使得: vf(x*)-v x)=0 i=1

一阶必要条件 定理1: 若(1) * x 是等式约束问题的局部最优解； (2) f (x) 与 c (x)(i l) i =1,2,  在 * x 的某邻域内 连续可微； (3) c (x)(i l)  i =1,2,  线性无关； 则存在一组不全为零的实数 * * 2 * 1 , ,   l 使得： ( ) ( ) 0 * 1 * *  −  = = f x c x l i i i

二阶充分条件 定理2:对等式约束问题,若 (1)f(x)与c;(xⅪ1≤i≤是二阶连续可微函数; (2)3x∈R"与x∈R使vL(x,x)=0; (3)s∈R且s≠0,且sVe1(x)=0,;=1,2,…t 均有V2L(x,x)>0 则x*是等式约束问题的严格局部极小点

二阶充分条件 定理2: 对等式约束问题，若： (1) f (x) 与 c (x)( i l) i 1  是二阶连续可微函数； (2) n x  R * 与 l  R *  使： ( , ) 0; * * L x  = (3) n s R 且 s  0, 且 s c (x ) i l i T  * = 0, =1,2,  均有 ( , ) 0 2 * * s xxL x s  T  则 * x 是等式约束问题的严格局部极小点．

不等式约束问题 minf(x)x∈Rn(2) st c;(x)≥0i={2,m}

不等式约束问题 min ( ) (2) n f x xR st. ci (x)  0 i = 1,2, m