5.3矩阵的微分和积分 §1.函数矩阵的微分积分 定义1.矩阵A=(an(O)mn称为函数矩阵如果 an()是以变量的函数 定义2.如果an(t)在t∈[a,b上连续,可微,可积则称 矩阵A=(an(t)在a,b上连续,可微,可积 规定: A"()=(an'(t) nxn ∫4()d=Ja1)m) →
5.3 矩阵的微分和积分 §1.函数矩阵的微分积分 1. ( ( )) ( ) ij m n ij A a t a t t = 定义 矩阵 称为函数矩阵,如果 是以变量 的函数. . ( ) [ , ] , , , ( ( )) [ , ] , , ij ij m n a t t a b A a t a b = 定义2 如果 在 上连续 可微 可积 则称 矩阵 在 上连续 可微 可积. '( ) ( '( )) ( ) ( ( ) ) ij m n b b ij a a A t a t A t dt a t dt = = 规定:
例:求函数矩阵 t sint 4 的导数 cost e Int a 1 cost 0 2t 解 (t) -sint e alna →
2 : sin 4 ( ) . cos ln t t t t t A t t e t a = 例 求函数矩阵 的导数 1 cos 0 2 : ( ) 1 sin ln t t t t d A t dt t e a a t = − 解
性质:设4(t),B(t)∈Cm"是两个可微函数,则 (1)(4(t)+B(t))=A(t)+B(t) dt dt (2)(4(O)B()=4()B(O)+A()B(O (3)a(a)0()=a()4()+a()t4(o) →
( ), ( ) , m n A t B t C 性质:设 是两个可微函数 则 (1) ( ( ) ( )) ( ) ( ) d d d A t B t A t B t dt dt dt + = + (2) ( ( ) ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) d d d A t B t A t B t A t B t dt dt dt = + (3) ( ( ) ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) d d d a t A t a t A t a t A t dt dt dt = +
性质2:设A∈C"是常数矩阵则 d 44=Ae4=e44 dt (2)cos(tA)=-Asin(tA)=-sin(tA)A 3) d dt sin(tA)= Acos(tA)= cos(tA)A: →
, n n A C 性质2:设 是常数矩阵 则 (1) ; d tA tA tA e Ae e A dt = = (2) cos( ) sin( ) sin( ) ; d tA A tA tA A dt = − = − (3) sin( ) cos( ) cos( ) ; d tA A tA tA A dt = =
性质3:设4(),B(1)∈CmN"在a,b上可积则 b b b (1)(A(0)+B())dt= A(t)dt+ B(t)dt b b (2)JA()dt=。A()dr; (3)∫°(4(O)B)d=∫m4o)dn,Bs b (AB(r))dt=A B(r)dt →
( ), ( ) [ , ] , m n A t B t C a b 性质3:设 在 上可积 则 (1) ( ( ) ( )) ( ) ( ) b b b a a a A t B t dt A t dt B t dt = (2) ( ) ( ) ; b b a a A t dt A t dt = (3) ( ( ) ) ( ) ; ( ( )) ( ) . b b a a b b a a A t B dt A t dt B AB t dt A B t dt = =