《矩阵理论—知识点详解》第六章 广义逆矩阵（6.1）矩阵的单边逆

第六章 广义逆矩阵

第六章 广义逆矩阵

1矩阵的单边逆 定义1设A∈Cm,如果有G∈Cm,使得 GA= E n 则称G为的左逆矩阵记为G=4 如果G=Em 则称G为4的右逆矩阵记为G=A

1 矩阵的单边逆 定义1 , . −1 则 称G为A的左逆矩阵 记 为G = AL GA= En 设 AC mn ,如果有GC nm ,使 得 如果 AG = Em , . −1 则 称G为A的右逆矩阵 记 为G = AR

定理1设A∈Cmn,则 (1)A左可逆的充要条件是为列满秩矩阵 (2)右可逆的充要条件是4为行满秩矩阵 证充分性:A为列满秩→ AA为满秩矩阵(4H4)-14HA=En G=(4A)AGA=E,→A左可逆 必要性:42A=En→

证 充分性：1 ( ) H H G A A A− = 定理1 (1) A左可逆的充要条件是A为列满秩矩阵; 设 AC mn ，则 (2) A右可逆的充要条件是A为行满秩矩阵. A为列满秩 A H A为满秩矩阵 n H H A A A A = E −1 ( ) GA= En A左可逆 必要性： AL A = En −1

rank(A)2 rank(A>I d =rank(En)=n rak(4)=n→A为列满秩 推论1设A∈CmN,则 (1)A左可逆的充要条件是(A)=0} (2)4右可逆的充要条件是R(A)=Cm 证充分性:N(4)=0}→Ax=0只有零解 rank(4)=n→A为列满秩 必要性:A左可逆 LL A=En

( ) ( ) 1 rank A rank AL A −  = rank(En ) = n rank(A) = n A为列满秩 推论1 设 AC mn ,则 (1) A左可逆的充要条件是N(A) = {0}; (2) ( ) . m A右可逆的充要条件是R A = C 证 充分性：N(A) = {0} Ax = 0只有零解 rank(A) = n A为列满秩 必要性：A左可逆 AL A = En −1

vx∈N(4)→x=En=A(Ax)=AL0=0 N(A)={0} 初等变换求左(右)逆矩阵: E G (1)P(AEm)=0 (2) 0=Em 0 G

x  N(A) ( ) 1 x E x A Ax n L − = = 0 0 1 = = − AL N(A) = {0} 初等变换求左(右)逆矩阵:         = 0 * (1) ( ) E G P A E n m         =         * 0 (2) G E Q E A m n