《矩阵理论—知识点详解》第五章 矩阵分析（5.1）矩阵序列与矩阵级数

第五章 矩阵分析

矩阵分析 第 五 章

1矩阵序列与矩阵级数 设m×n型矩阵序列为A)},其中 k)(k) (k) 2 (k) (k),(k) (k) 21 22 2n,k=1,2,…, ()a(k (h mlm mn 定义1:Iima:(4 =ij lim A' 1(k) A k→)0 k→)∞

, 1,2, , ( ) ( ) 2 ( ) 1 ( ) 2 ( ) 2 2 ( ) 2 1 ( ) 1 ( ) 1 2 ( ) 1 1 ( )         =               = k a a a a a a a a a A k mn k m k m k n k k k n k k k 设mn型矩阵序列为{A (k) }, 其 中A A k k = → ( ) 定义 1： ij lim k ij k a = a → ( ) lim 1 矩阵序列与矩阵级数

定理1:设im4=A,mimB()=Ba,B∈C,则 k→+0 k→+0 (1) lim(aA()+BB())=aA+BB k→)+ (2)lim A(R)B()=AB →)+Q (3当4与4都可逆时,im(A(k)y-14-1 →)+0 定理2:设刂‖是Cm"上任一矩阵范数Cm中 矩阵序列4敛于4的充要条件是 im‖4(k)-Al|=0 k→)+

定理 1： 设 lim A ( ) A，lim B (k) B. , C,则 k k k = =  →+  →+    (1) lim ( ) ; ( ) ( ) A B A B k k k  +  =  +  →+  (2) lim ; ( ) ( ) A B AB k k k = →+  (3) lim ( ) . ( ) ( ) −1 −1 →+  A A A = A k k 当 k 与 都可逆时， 定理 2： 设|| • ||是C mn 上任一矩阵范数，C mn 中 矩阵序列{A (k) }收敛于A的充要条件是 lim || || 0 ( ) − = →+  A A k k

定义2设A∈CmXm,若im4=0(k为正整数, k→>∞ 则称A为收敛矩阵 定理3设A∈CN,则4为收敛矩阵的充要 条件是(4)<1 roof:(1)充分性:A∈CmX P P AP=J=diag(n(ii),nm2),,Jr(s ) →=PP1→4→0Jk→0 Jk(4)→0

Pr : oof n n A C   ( ( ), ( ), , ( )) 1 2 1 1 2 r r r s s P AP = J = diag J  J   J  − (1)充分性： 设A C ， 若 lim A k 0 (k为正整数)， k n n  = →  定义2 : 则称A为收敛矩阵. 定理3 设AC nn ，则A为收敛矩阵的充要 条件是r(A)  1. −1 A = PJ P k k → 0 k A → 0 k J ( i ) → 0 k ri J 

4Cx4) r1-1k-r+1 ●鲁 k C F-22k-+2 J()= k k k A4k<1Ck4-→>0(=1,…,r-1) Jk(42)→0→J→0 k 4k→>0

| | 1 i  1 0 ( 1, , 1) l k l C l r k i i  − + → = − ( i ) → 0 k ri J  1 1 1 1 2 2 ) ( ) i i i i i k k r k r i k i k i k r k r k i k i r i i k i C C C J k r        − − − + − − +       =          ， → 0 k J → 0 k A