理论部分 凸集和凸函数
理论部分 凸集和凸函数
凸集 定义1设集合DcR,若对于任意两点 x,y∈D,及实数a(0≤a≤1),都有 O c)y∈D 则称集合D为凸集 注:常见的凸集:空集,整个欧氏空间R 超平面H={∈Ra4x1+a2x2+…+anxn=b} 半空间7=(∈R"x+a2x2+…+axn≥b
凸集 定义1 设集合 , n D R 若对于任意两点 x , y D, 及实数 (0 1), 都有： x +(1−)yD 则称集合 D 为凸集． 注：常见的凸集：空集，整个欧氏空间 n R 超平面： H x R a x a x an xn b n = 1 1 + 2 2 ++ = 半空间：H x R a x a x an xn b n = + + + + 1 1 2 2
例1:证明超球≤r为凸集 证明设x,y为超球中的任意两点0≤c≤1 则有:|ax+(1-a) ≤l|x+(1-a)训 a+(1-a)=r 即点ax+(1-a)v属于超球 所以超球为凸集
例1：证明超球 x r 为凸集． 证明：设 x, y 为超球中的任意两点， 0 1, 则有： x + (1−)y x + (1−) y r +(1−)r = r 即点 x +(1−)y 属于超球 所以超球为凸集．
凸集的性质 1)有限个(可以改成无限)凸集的交集 为凸集 (2)设D是凸集,B是一实数,则下面的 集合是凸集:mD={y=x,x∈D} (3)设D,D2是凸集,则D1,D2的和集 D+D2={y=x+z,x∈D,z∈D2是凸集
凸集的性质 （１） 有限个（可以改成无限）凸集的交集 为凸集． （２）设 D 是凸集， 是一实数，则下面的 集合是凸集： D = y y = x, xD （３）设 1 2 D ,D 是凸集，则 1 2 D ,D 的和集 D1 + D2 = y y = x + z, xD1 ,zD2 是凸集
注:和集和并集有很大的区别,凸集的并集 未必是凸集,而凸集的和集是凸集 例:D=1x:0y|x∈R}表示x轴上的点 D2={0,ypy∈R}表示y轴上的点 则D∪D2表示两个轴的所有点它不是凸集; 而D+D2=R2凸集
注：和集和并集有很大的区别，凸集的并集 未必是凸集，而凸集的和集是凸集． 例： D (x ) x R T 1 = ,0 表示 x 轴上的点． D ( y) y R T 2 = 0, 表示 y 轴上的点． 则 D1 D2 表示两个轴的所有点，它不是凸集； 2 而 D1 + D2 = R 凸集．