第一章函数与极限 函数和极限都是高等数学中最重要、最基本的概念,极值方法是最基本的方法, 切内容都将从这二者开始。 §1、函 数 集合、常量与变量 1、集合:集合是具有某种特定性质的事物所组成的全体。通常用大写字母A、B、C 等来表示,组成集合的各个事物称为该集合的元素。若事物a是集合M的一个元素,就 记a∈M(读a属于M);若事物a不是集合M的一个元素,就记agM或a∈M(读a不 属于M);集合有时也简称为集。 注1:若一集合只有有限个元素,就称为有限集;否则称为无限集。 2:集合的表示方 (1)、若集合为有限集,就可用列举出其全体元素的方法来表示,如:A={1,2,3……, 10},B={一只猫,一只狗,一只鸡} (i)、对无限集,若知道其元素的规律,也可类似写出,如:A={1,2,3,…}为全体自 然数集,B={2,4,6,…}为全体偶数集 枚举法(m)、列不出全体元素或找不到元素规律的集合,若知其元素有某种性质,那么该集 合可表示为:A=(x所具有的某种性质},即:有此性质的必在A中,且A中的元素必 须有此性质。如:A=(x2+5x2+7x+32=0:B=计为我校的学生;C=(xy)点 (x,y)在D中等 3:全体自然数集记为N全体整数的集合记为Z,全体有理数的集合记为Q全体实数的 集合记为R。以后不特别说明的情况下考虑的集合均为数集。 4:集合间的基本关系:若集合A的元素都是集合B的元素,即若有x∈A,必有x∈B, 就称A为B的子集,记为AcB,或B→A(读B包含A) 显然: NcZCOCR 若AcB,同时BcA,就称A、B相等记为A=B。 5:当集合中的元素重复时重复的元素只算一次如:{1,2,2,3}={1,2,3}。 6:不含任何元素的集称为空集记为中如:{xx2+1=0,x∈R}=①,{x:2=1}= 空集是任何集合的子集即ΦcA。 :区间:所有大于a、小于b(a<b)的实数组成一个集合称之为开区间,记为ab),即 (a,bF(xa<x<b) 同理:{ab={如≤x≤b为闭区间,[ab)={x≤x<b和ab]={x<x≤b分别 称为左闭右开、左开右闭的区间,统称为半开区间。 以上均成为有限区间,a、b分别称为左、右端点。 对无穷区间有:(=x≤b(a+0)={x对,(一+2)=xx+对=R
第一章 函数与极限 函数和极限都是高等数学中最重要、最基本的概念，极值方法是最基本的方法，一 切内容都将从这二者开始。 §1、 函 数 一、集合、常量与变量 1、集合：集合是具有某种特定性质的事物所组成的全体。通常用大写字母 A、B、C…… 等来表示，组成集合的各个事物称为该集合的元素。若事物 a 是集合 M 的一个元素，就 记 a M（读 a 属于 M）；若事物 a 不是集合 M 的一个元素，就记 a M 或 a M（读 a 不 属于 M）；集合有时也简称为集。 注 1：若一集合只有有限个元素，就称为有限集；否则称为无限集。 2：集合的表示方法： = + + + = = = = = = = = 在 中 等。 须有此性质。如： ； 为我校的学生 ； 点 合可表示为： 所具有的某种性质 ，即：有此性质的必在 中，且 中的元素必 、列不出全体元素或找不到元素规律的集合，若知其元素有某种性质，那么该集 然数集， ，，， 为全体偶数集； 、对无限集，若知道其元素的规律，也可类似写出，如： ，，， 为全体自 一只猫，一只狗，一只鸡 ； 、若集合为有限集，就可用列举出其全体元素的方法来表示，如： 枚举法 ( , ) } { 5 7 3 0} { } {( , ) { } ( ) {2 4 6 } ( ) {1 2 3 } 10} , { } ( ) {1,2,3, , 3 2 x y D A x x x x B x x C x y A x x A A iii B ii A B i A 3：全体自然数集记为 N,全体整数的集合记为 Z,全体有理数的集合记为 Q,全体实数的 集合记为 R。以后不特别说明的情况下考虑的集合均为数集。 4：集合间的基本关系：若集合 A 的元素都是集合 B 的元素，即若有 x A ，必有 xB， 就称 A 为 B 的子集，记为 A B,或 B A (读 B 包含 A)。 显然： N Z Q R. 若 A B,同时 B A,就称 A、B 相等,记为 A=B。 5：当集合中的元素重复时,重复的元素只算一次.如：{1,2,2,3}={1,2,3}。 6：不含任何元素的集称为空集,记为 ,如：{ x x +1 = 0, x R 2 }= ,{ : 2 = −1 x x }= , 空集是任何集合的子集,即 A。 7：区间：所有大于 a、小于 b (a ＜ b) 的实数组成一个集合,称之为开区间,记为(a,b),即 (a,b)= {x a x b} 。 同理：[a,b]= {x a x b} 为闭区间， a,b) ={x a x b} 和 (a,b ={x a x b} 分别 称为左闭右开、左开右闭的区间，统称为半开区间。 以上均成为有限区间，a、b 分别称为左、右端点。 对无穷区间有： (− ,b = {x x b},(a,+) = {x a x},(−,+) = {x − x +} = R
在不特别要求下,有限区间、无限区间统称为区间,用I表示。 :邻域:设a和δ为两个实数,且δ>0集合{x-ad<}称为点a的δ邻域,记为 U(a,δ),a为该邻域的中心,δ为该邻域的半径,事实上, U(a,6)={x-6<x<a+0}=(a-oa+) 同理:我们称U(a.)={x0<x-a<为a的去心d邻域,或a的空心邻域 集合的内容很多,其它内容(如集合的运算)在此不作一一介绍了。 2、常量与变量:在自然科学中,我们会遇到各种不同的量,然而在观察这些量时,发 现有着非常不同的状态,有的量在过程中不起变化,保持一定的数值,此量称为常量 又有些量有变化,可取各种不同的数值,这种量称为变量 【例】掷同一铅球数次,发现铅球的质量、体积为常量,而投掷距离、上抛角度、用 力大小均为变量 注1:常量与变量是相对而言的,同一量在不同场合下,可能是常量,也可能是变量, 如在一天或在一年中观察某小孩的身高;从小范围和大范围而言,重力加速度可是常量 和变量,然而,一旦环境确定了,同一量不能既为常量又为变量,二者必居其一。 2:常量一般用a.b,c…等字母表示,变量用xyut…等字母表示,常量a为一定 值,在数轴上可用定点表示,变量ⅹ代表该量可能取的任一值,在数轴上可用动点表示 如:x∈(a,b)表示x可代表(a,b)中的任一个数。 、函数的概念 【例】正方形的边长x与面积S之间的关系为:S=x2,显然当x确定了,S也就确定了。 这就是说,同一过程中变量之间往往存在着某种内在的联系。它们在遵循某一规律时相 互联系、相互约束着。 定义:设x和y为两个变量,D为一个给定的数集,如果对每一个x∈D,按照一定的 法则∫变量y总有确定的数值与之对应,就称y为x的函数,记为y=f(x)数集D 称为该函数的定义域,x叫做自变量,y叫做因变量 当x取数值x。∈D时,依法则∫的对应值称为函数y=f(x)在x=x0时的函数值。所 有函数值组成的集合W=yy=f(x)x∈D称为函数y=f(x)的值域。 注1:函数通常还可用y=g(x),y=F(x),s=u()等表示。 2:约定:函数的定义域就是自变量所能取的,使算式有意义的一切实数值的全体。 【例1】y=snx的定义域为(-∞,+∞),值域为[-1,1l。 【例2】y=1+x的定义域为-1,+∞),值域为[0,+∞)
在不特别要求下，有限区间、无限区间统称为区间，用 I 表示。 8：邻域：设 a 和 为两个实数，且 0.集合 {x x − a } 称为点 a 的 邻域，记为 U(a, ) ,a 为该邻域的中心， 为该邻域的半径，事实上， U(a, ) ={x a − x a +} = (a −,a + )。 同理：我们称 U(a, ) = {x 0 x − a } 为 a 的去心 邻域，或 a 的空心 邻域。 9：集合的内容很多，其它内容(如集合的运算)在此不作一一介绍了。 2、常量与变量：在自然科学中，我们会遇到各种不同的量，然而在观察这些量时，发 现有着非常不同的状态，有的量在过程中不起变化，保持一定的数值，此量称为常量； 又有些量有变化，可取各种不同的数值，这种量称为变量。 【例】掷同一铅球数次，发现铅球的质量、体积为常量，而投掷距离、上抛角度、用 力大小均为变量。 注 1：常量与变量是相对而言的，同一量在不同场合下，可能是常量，也可能是变量， 如在一天或在一年中观察某小孩的身高；从小范围和大范围而言，重力加速度可是常量 和变量，然而，一旦环境确定了，同一量不能既为常量又为变量，二者必居其一。 2：常量一般用 a,b,c……等字母表示，变量用 x,y,u,t……等字母表示，常量 a 为一定 值，在数轴上可用定点表示，变量 x 代表该量可能取的任一值，在数轴上可用动点表示， 如： x (a,b) 表示 x 可代表 (a,b) 中的任一个数。 二、函数的概念 【例】正方形的边长 x 与面积 S 之间的关系为： 2 S = x ，显然当 x 确定了， S 也就确定了。 这就是说，同一过程中变量之间往往存在着某种内在的联系。它们在遵循某一规律时相 互联系、相互约束着。 定义：设 x 和 y 为两个变量，， D 为一个给定的数集，如果对每一个 xD ，按照一定的 法则 f 变量 y 总有确定的数值与之对应，就称 y 为 x 的函数，记为 y = f (x).数集 D 称为该函数的定义域， x 叫做自变量， y 叫做因变量。 当 x 取数值 x0 D 时，依法则 f 的对应值称为函数 y = f (x) 在 0 x = x 时的函数值。所 有函数值组成的集合 W ={y y = f (x), x D} 称为函数 y = f (x) 的值域。 注 1：函数通常还可用 y = g(x), y = F(x),s = u(t) 等表示。 2：约定：函数的定义域就是自变量所能取的，使算式有意义的一切实数值的全体。 【例 1】 y = sin x 的定义域为 (−,+) ，值域为 [−1,1]。 【例 2】 y = 1+ x 的定义域为 [−1,+) ，值域为 [0,+)
0-x<1 【例3】 x=0的定义域为[-1,值域为[02]。 【例4】f(x)=1的定义域为(-∞,+∞),M(x)=-的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),从而显然 f(x)≠h(x)。 3、若对每一个x∈D,只有唯一的一个y与之对应,就称函数y=f(x)为单值函数 若有不止一个y与之对应,就称为多值函数。如:x2+y2=1,x2-y2=1等。以后若不特 别声明,只讨论单值函数。 4、函数的表示法有三种:解析法、图象法、列表法。其中解析法较普遍,它是借助 于数学式子来表示对应法则,上例均为解析法,注意例3的法则是:当自变量x在(0上 取值,其函数值为x2;当x取0时,f(x 当x在[-1,0)上取值时,其函数值为1-x (这种函数称为分段函数,在以后经常遇见,希望注意!)尽管有几个不同的算式,但它 们合起来只表示一个函数! 5、对D中任一固定的x,依照法则有一个数y与之对应,以x为横坐标,y为纵坐标 在坐标平面上就确定了一个点。当x取遍D中的每一数时,便得到一个点集 C={(x,y)y=f(x),x∈D,我们称之为函数y=f(x)的图形。换言之,当x在D中变动 时,点(x,y)的轨迹就是y=f(x)的图形。 【例5】书上的几个例子。(同学们自己看) 【例6】例3的图形如下图
【例 3】 − − = = 1 1 0 0 2 1 0 1 2 x x x x x y 的定义域为 [−1,1] ，值域为 [0,2]。 【例 4】 f (x) 1 的定义域为 (−,+) ， x x h(x) = 的定义域为 (−,0) (0,+) ，从而显然 f (x) h(x) 。 3、若对每一个 xD ，只有唯一的一个 y 与之对应，就称函数 y = f (x) 为单值函数； 若有不止一个 y 与之对应，就称为多值函数。如： 1, 1 2 2 2 2 x + y = x − y = 等。以后若不特 别声明，只讨论单值函数。 4、函数的表示法有三种：解析法、图象法、列表法。其中解析法较普遍，它是借助 于数学式子来表示对应法则，上例均为解析法，注意例 3 的法则是：当自变量 x 在 (0,1] 上 取值，其函数值为 2 x ；当 x 取 0 时， 2 1 f (x) = ；当 x 在 [−1,0) 上取值时，其函数值为 1− x 。 （这种函数称为分段函数，在以后经常遇见，希望注意！）尽管有几个不同的算式，但它 们合起来只表示一个函数！ 5、对 D 中任一固定的 x ，依照法则有一个数 y 与之对应，以 x 为横坐标， y 为纵坐标 在 坐 标 平 面上 就 确 定了 一 个 点。 当 x 取 遍 D 中 的 每 一 数 时 ，便 得 到一 个 点 集 C ={(x, y) y = f (x), xD} ，我们称之为函数 y = f (x) 的图形。换言之，当 x 在 D 中变动 时，点 (x, y) 的轨迹就是 y = f (x) 的图形。 【例 5】 书上的几个例子。（同学们自己看） 【例 6】 例 3 的图形如下图
三、函数的几种特性 1、函数的有界性:设y=f(x)在D上有定义,若对wx∈D,M>0,使得:f(x)≤M 就称f(x)在D上有界,否则称为无界 注:1、若对x∈D,3M,使得f(x)≤M(f(x)≥M),就称f(x)在D上有上(下)界。f(x) 在D上有界台f(x)在D上同时有上界和下界。 2、f(x)在D上无界也可这样说:对WM>0,总∈D,使得(x)>M。 【例7】上段例1、3、4中的函数是有界的;例2中的函数是无界的,但有下界 2、函数的单调性:设函数f(x)在区间I上有定义,若对x、x2∈l,当x1<x2时总有 (1)f(x1)≤f(x2),就称f(x)在I上单调递增,特别当严格不等式f(x1)<f(x2)成 立时,就称f(x)在I上严格单调递增。 (2)f(x1)≥f(x2),就称f(x)在/上单调递减,特别当严格不等式f(x1)>f(x2)成 立时,就称∫(x)在/上严格单调递减。 注:1、此处的定义与书上有区别,希望注意! 2、这样的函数分别称为单调函数和严格单调函数 3、调递增有时简称单增、递増或不减,其它也 【例8】符号函数和取整函数均为单增函数,但不严格单调。 【例9】y=1在(0+)上是严格单减函数。 【例10】[例3]中的函数在定义域[-1上不是单调的,但在[-1,0)上是严格单减的,在 (0,1上是严格单增的。 3、函数的奇偶性:设函数f(x)的定义域D为对称于原点的数集,即若x∈D,有-x∈D, (1)若对vx∈D,有∫(-x)=f(x)恒成立,就称f(x)为偶函数。 (2)若对ⅵx∈D,有f(-x)=-f(x)恒成立,就称f(x)为奇函数。 【例1y=x2,y=cosx,y=x,是偶函数,y=x3,y=smx,y=sgnx,是奇函数 y=x2+x3,y=cosx+snx是非奇非偶函数
三、函数的几种特性 1、 函数的有界性：设 y = f (x) 在 D 上有定义，若对 x D,M 0 ，使得： f (x) M ， 就称 f (x) 在 D 上有界，否则称为无界。 注：1、若对 xD，M ，使得 f (x) M ( f (x) M ) ，就称 f (x) 在 D 上有上(下)界。 f (x) 在 D 上有界 f (x) 在 D 上同时有上界和下界。 2、 f (x) 在 D 上无界也可这样说：对 M 0 ，总 x0 D ，使得 f (x0 ) M 。 【例 7】 上段例 1、3、4 中的函数是有界的；例 2 中的函数是无界的，但有下界。 2、函数的单调性：设函数 f (x) 在区间 I 上有定义，若对 x x I 1、 2 ，当 1 2 x x 时总有： （1） ( ) ( ) 1 2 f x f x ，就称 f (x) 在 I 上单调递增，特别当严格不等式 ( ) ( ) 1 2 f x f x 成 立时，就称 f (x) 在 I 上严格单调递增。 （2） ( ) ( ) 1 2 f x f x ，就称 f (x) 在 I 上单调递减，特别当严格不等式 ( ) ( ) 1 2 f x f x 成 立时，就称 f (x) 在 I 上严格单调递减。 注：1、此处的定义与书上有区别，希望注意！ 2、 2、这样的函数分别称为单调函数和严格单调函数。 3、 3、调递增有时简称单增、递增或不减，其它也一样。 【例 8】 符号函数和取整函数均为单增函数，但不严格单调。 【例 9】 x y 1 = 在 (0,+) 上是严格单减函数。 【例 10】 [例 3]中的函数在定义域 [−1,1] 上不是单调的，但在 [−1,0) 上是严格单减的，在 (0,1] 上是严格单增的。 3、函数的奇偶性：设函数 f (x) 的定义域 D 为对称于原点的数集，即若 xD ，有− xD， (1) 若对 xD ，有 f (−x) = f (x) 恒成立，就称 f (x) 为偶函数。 (2) 若对 xD ，有 f (−x) = − f (x) 恒成立，就称 f (x) 为奇函数。 【例 11】 2 y = x ，y = cos x , y = x ,是偶函数， 3 y = x ，y = sin x，y = sgn x ，是奇函数。 2 3 y = x + x ， y = cos x + sin x 是非奇非偶函数
【例11】*y=hn(x+√1+x2)是奇函数。 注:1、偶函数的图形是关于y轴对称的,奇函数的图形是关于原点对称的 2、若f(x)是奇函数,且0∈D,则必有f(0)=0。 3、两偶函数和为偶函数;两奇函数和为奇函数:两偶函数的积为偶函数;两奇函数 的积也为偶函数;一奇一偶的积为奇函数 周期性:设函数f(x)的定义域为D,如果丑≠0,使得对x∈D,有x±l∈D 且f(x+D)=f(x)恒成立,就称f(x)为周期函数,l称为f(x)的周期。 【例12】y=snx,y=cosx,y=1gx分别为周期为2r,2x,丌的周期函数,y=x-[x为周 期为1的函数。 注1:若l为f(x)的周期,由定义知2,31,41……也都是f(x)的周期,故周期函数有无穷 多个周期,通常说的周期是指最小正周期(基本周期),然而最小正周期未必都存 在(为什么?) 例如:y=sn2x+cos2x=1,设有最小正周期。 2:周期函数在一每个周期(a+kla+(k+1))(a为任意数,k为任意常数)上,有相 同的形状。 四、反函数 设f(x)的定义域为D,值域为W,因此,对vy∈W,必丑x∈D,使得∫(x)=y,这 样的x可能不止一个,若将y当作自变量,x当作因变量,按函数的概念,就得到一新函 数x=(y),称之为函数y=f(x)的反函数,而f(x)叫做直接函数。 注1:反函数x=o(y)的定义域为W,值域为D 2:由上讨论知,即使y=f(x)为单值函数,其反函数却未必是单值函数,以后对此问 题还作研究; 3:在习惯上往往用x表示自变量,y表示因变量,因此将x=9(y)中的x与y对换 下,y=f(x)的反函数就变成y=o(x),事实上函数y=0(x)与x=(y)是表示同一函数 的,因为,表示函数关系的字母""没变,仅自变量与因变量的字母变了,这没什么关系 所以说:若y=f(x)的反函数为x=0(y),那么y=q(x)也是y=f(x)的反函数,且后者
【例 11】﹡ ln( 1 ) 2 y = x + + x 是奇函数。 注：1、偶函数的图形是关于 y 轴对称的，奇函数的图形是关于原点对称的。 2、若 f (x) 是奇函数，且 0D ，则必有 f (0) = 0。 3、两偶函数和为偶函数；两奇函数和为奇函数；两偶函数的积为偶函数；两奇函数 的积也为偶函数；一奇一偶的积为奇函数。 4、周期性：设函数 f (x) 的定义域为 D ，如果 l 0 ，使得对 xD ，有 x l D ， 且 f (x + l) = f (x) 恒成立，就称 f (x) 为周期函数， l 称为 f (x) 的周期。 【例 12】 y = sin x, y = cos x, y = tgx 分别为周期为 2,2, 的周期函数， y = x −[x] 为周 期为 1 的函数。 注 1：若 l 为 f (x) 的周期，由定义知 2l,3l,4l 也都是 f (x) 的周期，故周期函数有无穷 多个周期，通常说的周期是指最小正周期（基本周期），然而最小正周期未必都存 在（为什么？） 例如： sin cos 1 2 2 y = x + x ，设有最小正周期。 2：周期函数在一每个周期 (a + kl,a + (k +1)l) （ a 为任意数， k 为任意常数）上，有相 同的形状。 四、反函数 设 f (x) 的定义域为 D ，值域为 W ，因此，对 y W ，必 xD ，使得 f (x) = y ，这 样的 x 可能不止一个，若将 y 当作自变量， x 当作因变量，按函数的概念，就得到一新函 数 x = ( y) ，称之为函数 y = f (x) 的反函数，而 f (x) 叫做直接函数。 注 1：反函数 x = ( y) 的定义域为 W ，值域为 D ； 2：由上讨论知，即使 y = f (x) 为单值函数，其反函数却未必是单值函数，以后对此问 题还作研究； 3：在习惯上往往用 x 表示自变量， y 表示因变量，因此将 x = ( y) 中的 x 与 y 对换一 下， y = f (x) 的反函数就变成 y = (x) ，事实上函数 y = (x) 与 x = ( y) 是表示同一函数 的，因为，表示函数关系的字母 "" 没变，仅自变量与因变量的字母变了，这没什么关系。 所以说：若 y = f (x) 的反函数为 x = ( y) ，那么 y = (x) 也是 y = f (x) 的反函数，且后者