2.幂级数 当fn(x)=Cn1(z-)”或fn(z)=Cn1zn时, 函数项级数的特殊情形 ∑ 公(元7=(+c,(z-)+c2(z-)2+…+Cn(2-列)+ 或∑cnz 2 C+C1z+C23+…+Cn3+… n=0 这种级数称为幂级数 为简便,以下讨论幂级数∑cn
2. 幂级数 当 1 1 0 ( ) ( ) − = − − n n n f z c z z 或 ( ) , 1 fn z = cn−1 z n− 时 函数项级数的特殊情形 − = + − + − + = 2 0 1 0 2 0 0 0 c (z z ) c c (z z ) c (z z ) n n n + cn (z − z0 ) n + . 2 0 1 2 0 = + + ++ + = n n n n n 或 c z c c z c z c z 这种级数称为幂级数. 为简便，以下讨论幂级数 . n=0 n n c z
、幂级数的敛散性 1收敛定理阿贝尔Abe定理)阿贝尔介绍 如果级数∑cnz"在z=z1(≠0)收敛那么对 满足<z0的z,级数必绝对收敛,如果在z= 级数发散,那么对满足z>z0的x,级数必发散
二、幂级数的敛散性 1.收敛定理 (阿贝尔Abel定理) 如果级数 n=0 n n c z ( 0) z = z0 0 z z 0 z = z 0 z z z, 在 收敛, z, 那么对 的 级数必绝对收敛, 如果在 级数发散, 那么对满足 的 级数必发散. 满足 阿贝尔介绍
证因为级数∑c1z收敛,则 limno=0.从而级数 各项有界,即存在正数M,使对所有的n,有xM n 而 m≤M4如果z<kn,那么 级数∑M收敛由正项级数的比较判别法知 H=0 0 ∑cnz"=cn+c;+z2+…+c+…收敛 H=0 故级数∑cnz"是绝对收敛的 n=0 另一部分的证明可用反证法
证 , 0 因为级数 0 收敛 n= n n c z 各项有界， lim 0. 0 = → n n n 则 c z 即存在正数M, . c z0 M n 使对所有的n, 有 n , 0 而 n 如果 z z n n n n n z z c z c z 0 0 = . 0 n z z M 从而级数 由正项级数的比较判别法知: . 0 故级数 是绝对收敛的 n= n n c z = + + ++ + = n n n n n c z c c z c z c z 2 0 1 2 0 收敛. . 0 0 级 数 收 敛 n n z z M = 那么 另一部分的证明可用反证法
2.收敛圆与收敛半径 对于一个幂级数∑c",其收敛的情况有三种: (1)对所有的复数都收敛 例如,级数 1++°,+…+°n+ 对任意固定的乙,从某个n开始,总有< 2 于是有 ,故该级数对任意的z均收敛 (2)对所有的复数,除z=0外都发散 例如,级数1+z+22z2+…+n"z"+… 当z≠0时,通项不趋于零,故级数发散
2. 收敛圆与收敛半径 （1）对所有的复数都收敛. 例如, 级数 + + ++ n + n n z z z 2 2 2 1 对任意固定的z, 从某个n开始, 总有 , 2 1 n z 于是有 , 2 1 n n n n z 故该级数对任意的z均收敛. （2） 对所有的复数，除 z=0 外都发散. 例如，级数 1+ z + 2 2 z 2 ++ n n z n + 当z 0时, 通项不趋于零, 故级数发散. 对于一个幂级数 , 其收敛的情况有三种: n=0 n n c z
(3)既存在使级数收敛的复数α,也存在使级数 发散的复数尸.由阿贝尔定理,∑cnz在圆周z=l 内绝对收敛,在圆周z=B外发散.则存在正数R, ∑c2在圆周k=R内绝对收敛,在圆周z=R外发散 收敛圆 收敛半径 R oo 幂级数∑nz"的收敛范围是以原点为中心的圆域 =0
x y o . . R 收敛圆 收敛半径 幂级数 n=0 n n c z 的收敛范围是以原点为中心的圆域. . （3）既存在使级数收敛的复数 , 也存在使级数 发散的复数 . 由阿贝尔定理， = = c z z n n n 0 在圆周 在圆周 z = 外发散． , 0 c z 在圆周 z R内绝对收敛 n n n = = 在圆周 z = R外发散． 内绝对收敛, 则存在正数R