《矩阵理论—知识点详解》第六章 广义逆矩阵（6.2）广义逆矩阵

2广义逆矩阵A 定义1设A∈CmN,如果存在矩阳G∈Cmm, 使得 AGb=b(yb∈R(A) 则称G为4的广义逆矩阵记为G=A 定理1设A∈Cm,则A存在广义逆矩阵的 充要条件是存在G∈CmM",使其满足 AGA= A

2 广义逆矩阵 − A 定义1 , . − 则 称G为A的广义逆矩阵记 为G = A AGb = b ( b R(A)) , , m n n m A C G C   设  如果存在矩阵  使得定理1 充要条件是存在GC nm , 使其满足 设 AC mn ,则A存在广义逆矩阵的 AGA= A

proof必要性:u∈C"→b=Au∈R(4) AGb=b AGAu= AGb=b=Au AGA= A 充分性:Ax=b→→AGb=AG4x =Ax=b→G为4的一个广义逆矩阵

proof 必要性： n  uC b = Au R(A) AGb b = AGAu= AGb= b= Au G为A的一个广义逆矩阵 AGA= A 充分性：Ax = b AGb = AGAx = Ax = b

推论1设A∈Cm",且A∈C"m是4的一个广义 逆矩阵则 runk(A)≥rank(A) proof rank(A)=mkA44)≤mnk(44)≤mmk(A) 定义A{4}={G|AGA=A,VG∈C"Nm} 定理2设A∈Cm,且A是4的任一广义逆矩阵, 则有 A 1=GG=A +U-A AUAA, VUECIXm IGG=A +(E -A AV+W(Em-AA)VV, WECm

proof rank(A) rank(AA A) − = ( ) −  rank AA ( ) −  rank A {1} { | , } n m A G AGA A G C  定义 = =   则有定理2 设 AC mn ,且A − 是A的任一广义逆矩阵， {1} { | , } n m A G G A U A AUAA U C − − −  = = + −   推论1设 AC mn ,且A − C nm 是A的一个广义 rank(A )  rank(A) − 逆矩阵,则 { | ( ) ( ), , } n m G G A E A A V W E AA V W C n m − − −  = = + − + −  

proof VG∈A{}→AGA=A= G=A+G-A-A A(G-A )AA U=G-A G=A+U-A AUAA AUCGG=A +U-A AUAA,V UEC) VU∈Cmm→G=A+U- A AUAA G=A +u-Uaa +UAA-A AUAa

proof  G  A{1} − − − − − G = A + G − A − A A(G − A )AA U G A− = − {1} { | , } n m A G G A U A AUAA U C − − −   = + −   AGA= A G A U A AUAA − − − = + − n m U C    − − − − − G = A +U −UAA +UAA − A AUAA G A U A AUAA − − − = + −

G=A +(E,-A AUAA +U(Em-AA W=U-G=A-+(En-A A)V-W(Em-AA) IGG=A+U-A UAA VUECC GIG=A +(En-A A)V+W(Em-AA), y,W∈C

( ) ( ) G A E A A UAA U E AA n m − − − − = + − + − ( ) ( ) − − − G = A + En − A A V −W Em − AA W U= , V UAA− = , } { | ( ) ( ), n m n m V W C G G A E A A V W E AA  − − −   = + − + − { | , } n m G G A U A UAA U C − − −  = + −   