复变函数与积分变换 第四章 4 解析函数的级数表示
复变函数与积分变换
41复数项级 Q一、复数列的极限 二、复数项级数的概念
§4.1 复数项级数 一、复数列的极限 二、复数项级数的概念
、复数列的极限 1.定义设{n}(n=1,2,)为一复数列其中 n=xn+n,又设石=x+i为一确定的复数 若>0,自然数N,当n>N时,有zn-<6 则称复数列zn}收敛于z,或称n以z为极限 记作 imxn=0或zn→>石p(n→>) 若数列zn}不收敛,则称{n}发散
一、复数列的极限 1.定义 若 0, 自然数N, . 0 n N z − z 当 时，有 n , 0 收敛于z 记作 0 lim z z n n = → 设{z } (n = 1,2, )为一复数列,其中 n , n n n z = x + iy , 又设z0 = x0 + i y0 为一确定的复数 { }n 则称复数列 z ( ). 或 zn → z0 n→ 若数列{ }不收敛，则称 { }发散. n n z z { } . 或称 zn 以z0 为极限
2复数列收敛的条件 定理复数列{n}(n=1,2,)收敛于z0的充要条件是 lim=Xo, limy=yo n→0 n→0o 证如果imzn=z,则vE>0,3N>0,当n>N时, n→0 (xn+n)-(x+)<E, 从而有xn-x≤(xn-x)+i(yn-y)<, 所以imx n->々S 0 同理 lim y=yo n→0
2.复数列收敛的条件 { }( 1,2, ) 定理 复数列 zn n = 收敛于z0的充要条件是 lim , 0 z z n n = → 如果 则 0, N 0, 当n N 时, ( ) ( ) , 0 0 x + iy − x + iy n n 证 ( ) ( ) , 0 0 0 x − x x − x + i y − y 从而有 n n n lim . xn x0 n = → lim . 0 y y n n = → 所以 同理 lim , lim . 0 0 x x y y n n n n = = → →
反之,如果 limx=x0, lim y=y 那么当n>N时, eslym-yo/e 从而有n-0=(xn+n)-(x+ =(xn-xo)+i(m-yo ≤xn-x+yn-y<, 所以imzn= 证毕 n→ 该定理说明:可将复数列的敛散性转化为判别两 个实数列的敛散性
. 2 , 2 0 0 xn − x yn − y 反之, 如果 lim , lim , 0 0 x x y y n n n n = = → → 那么当n N 时, 从而有 ( ) ( ) 0 0 0 z z x iy x iy n − = n + n − + ( ) ( ) 0 0 x x i y y = n − + n − 该定理说明: 可将复数列的敛散性转化为判别两 个实数列的敛散性. lim . 0 z z n n = → 所以 [证毕] , 0 0 x − x + y − y n n