复变函数与积分变换 第五章 留数及其应用
复变函数与积分变换
§51孤立奇点 Q一、孤立奇点的概念 Q二、函数的零点与极点的关系 Q三、函数在无穷远点的性态
§5.1 孤立奇点 一、孤立奇点的概念 二、函数的零点与极点的关系 三、函数在无穷远点的性态
、孤立奇点的概念 定义如果函数f(z)在不解析,但f(z)在 的某去心邻域0<z-zk<6内处处解析,则称 z.f(z)的孤立奇点 例1z=0是函数e,x的孤立奇点 z=-1是函数 z+1 的孤立奇点 注意:孤立奇点一定是奇点,但奇点不一定是孤 立奇点
一、孤立奇点的概念 如果函数 f (z)在z0 不解析， 例1 z = 0 是函数 z z e z sin , 1 的孤立奇点. z = −1 是函数 1 1 z + 的孤立奇点. 注意: 孤立奇点一定是奇点, 但奇点不一定是孤 立奇点. 定义 的某去心邻域0 z − z0 内处处解析， 0 但 f (z)在 z z0 为 f (z)的孤立奇点． 则称
2 例2指出函数f(x)=1在点z=0的奇点特性 SIn 解函数的奇点为 z=0,z 纭(k=土1,土2,…) k1 因为lim=0, 即在z=0的不论怎样小的去心邻域内,总有f(z) 的奇点存在,所以z=0不是孤立奇点
例2 指出函数 在点 z = 0 z z f z 1 sin ( ) 2 = 的奇点特性. 解 = = k z z 1 0, (k = 1, 2, ) 因为 0， 1 lim = k→ k 即在 z = 0 的不论怎样小的去心邻域内, 的奇点存在, 函数的奇点为 总有 f (z) 所以 z = 0 不是孤立奇点
孤立奇点的分类 依据∫(x)在其孤立奇点0的某去心邻域内的 洛朗级数的情况可将孤立奇点分为三类: 1.可去奇点;2.极点;3.本性奇点 可去奇点 1)定义如果洛朗级数中不含x-的负幂项, 那么孤立奇点称为∫(z)的可去奇点
孤立奇点的分类 依据 f (z) 在其孤立奇点 0 z 的某去心邻域内的 洛朗级数的情况可将孤立奇点分为三类: 1．可去奇点 1．可去奇点; 2．极点; 3．本性奇点. 如果洛朗级数中不含 z − z0 的负幂项, 0 那么孤立奇点 z 称为 f (z) 的可去奇点. 1) 定义