湖南大学：《复变函数与积分变换》第二章 解析函数（王文祥）

第一节解析薦數的概念 第二节解析画数和调和画数的哭系 第三节等函数

第一节 解析函数的概念 第二节 解析函数和调和函数的关系 第三节 初等函数

Q一、复变函数的导数与微分 二、解析函数的概念 三、函数解析的充要条件 Q小结与思考 BACK

一、复变函数的导数与微分 二、解析函数的概念 三、函数解析的充要条件 小结与思考

复变函数的导数与微分 1.导数与微分的定义 设函数=f(z在点某邻域内有定义z+△z 仍是该邻域内的点,令△w=f(x+△z)-f(z).若 极限 imn△H=limf(n+△z)-f(n △少0△z△z→0 存在有限的值A,则称f(z)在可导 d 极限值4称为f(x)在点动的导数记作f(z)或 dz

一、 复变函数的导数与微分 1.导数与微分的定义 ( ) . 则称 f z 在z0可导记 作 或 ． 0 d d ( )0 z z z w f z =  设函数w = f (z)在点z0某邻域内有定义， 仍是该邻域内的点， z + z 0 ( ) ( ). 0 0 令w = f z + z − f z 若 z f z z f z z w z z  +  − =    →  → ( ) ( ) lim lim 0 0 0 0 极限 存在有限的值A， ( ) , 极限值A称为 f z 在点z0的导数

在定义中应注意: z+Az→0(即△z→>0的方式是任意的 即n+以任意方式趋我时比值(+A2)-( 都趋于同一个数 f(zo)=lim f(+Ax)-f(z)△w Az→0 由定义,若函数=f(x)在可导,则 △MP=f(zn)△z+o(△z)(△z→0) 称h=f(z)Az=f(z)d为(z)在点x的微分 此时也称函数=f(z)在点z可微 显然,函数w=f(z)在可导与在可微是等价的

在定义中应注意: ( 0) . z0 + z → z0 即z → 的方式是任意的 . ( ) ( ) , 0 0 0 0 都趋于同一个数 即 以任意方式趋于 时 比 值 z f z z f z z z z  +  − +  0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) lim . z f z z f z w f z z z  → +  −   = =   由定义，若函数w = f (z)在z0 可导， w = f (z0 )z + o(z) (z → 0)． ( ) ( ) ( ) . 称dw = f  z0 z = f  z0 dz为f z 在点z0的微分 ( ) . 函 数w = f z 在 z0可导与在z0可微是等价的 ( ) . 此时也称函数w = f z 在点z0 可微 显然， 则

例1求f()=的导数 解yz∈C∵limf(2+A2)-(3) △z→>0 △ z+△z = Az→0 AZ =lim(2x+△z)=2x Az→0 ∫(x)=x2在z平面上处处可导 2

例1 ( ) . 求f z = z 2的导数 0 ( ) ( ) lim z f z z f z z C  → z +  −    解 z z z z z  +  − =  → 2 2 0 ( ) limlim(2 ) 0 z z z = +   → = 2z. (z ) 2z 2 =  2  = f z z z ( ) . 在 平面上处处可导