3.绝对收敛与条件收敛 oo 定理如果级数∑kz收敛那么∑z也收敛 证由于∑kn=∑xn2+y2, -=1 而xn≤√x2+yn2,Jn≤ y.十 根据实数项级数的比较准则,知 ∑xn及∑J收敛→∑x及∑收敛→∑z收敛 注:∑zn的各项都是非负实数可用正项级数的审敛法
3. 绝对收敛与条件收敛 , . 1 1 如 果级 数 收 敛 那 么 也收敛 = = n n n n z z 注： , 1 的各项都是非负实数 n= n z 可用正项级数的审敛法. 定理 证 由于 , 1 2 2 1 = = = + n n n n n z x y 而 , , 2 2 2 2 n n n n n n x x + y y x + y 根据实数项级数的比较准则, 知 及 收 敛 1 1 = = n n n n x y 1 1 及 收 敛 = = n n n n x y . n 1 收敛 = n z
定义 如果∑kn收敛那么称级数∑为绝对收敛 非绝对收敛的收敛级数称为条件收敛级数 说明由x2+y2≤xl+Jy 知∑x+玲≤∑x+∑pk k=1 k=1 所以∑x与∑绝对收敛时∑x也绝对收敛 n=1 co 综上:∑绝对收敛兮∑x与∑J绝对收敛 n=l
非绝对收敛的收敛级数称为条件收敛级数. 说明 , 2 2 n n n n 由 x + y x + y , 1 1 1 2 2 = = = + + n k k n k k n k k k 知 x y x y 如果 收敛, 那么称级数 为绝对收敛. n=1 n z n=1 n z 定义 , 1 1 与 绝对收敛时 = = n n n n 所以 x y . 1 也绝对收敛 n= n z . 1 1 1 绝对收敛 与 绝对收敛 = = = n n n n n n 综上: z x y
例3级数∑)是否绝对收敛? 解因为(818 所以由正项级数的比值判别法知: 8′ 收敛 n=1 故原级数收敛,且为绝对收敛
! (8 ) 1 级数 是否绝对收敛？ n= n n i 例3 , ! 8 1 收敛 n= n n 故原级数收敛, 且为绝对收敛. , ! 8 ! (8 ) n n i n n 因为 = 所以由正项级数的比值判别法知: 解
例4级数∑)+,是否绝对收敛? n=1 解因为之(收敛;∑1也收敛, n= 故原级数收敛 但∑(为条件收敛, n: 所以原级数非绝对收敛
; ( 1) 1 因为 收敛 = − n n n , 2 1 1 也收敛 n= n 故原级数收敛. , ( 1) 1 但 为条件收敛 = − n n n 所以原级数非绝对收敛. ] 2 ( 1) 1 [ 1 级数 是否绝对收敛？ = + − n n n i n 例4 解
小结与思考 通过本课的学习,应了解复数列的极限概念; 熟悉复数列收敛及复数项级数收敛与绝对收敛 的充要条件;理解复数项级数收敛、发散、绝对 收敛与条件收敛的概念与性质 思考题 如果复数项级数∑x和∑y均发散间: n=1 级数∑(xn±yn地发散吗? n=1 思考题答案否
小结与思考 通过本课的学习, 应了解复数列的极限概念; 熟悉复数列收敛及复数项级数收敛与绝对收敛 的充要条件;理解复数项级数收敛、发散、绝对 收敛与条件收敛的概念与性质. , : 1 1 如果复数项级数 和 均发散 问 = = n n n n x y ( ) ? 1 级 数 也发散吗 = n n n x y 思考题 思考题答案 否