《矩阵理论—知识点详解》第五章 矩阵分析（5.2）矩阵函数

2矩阵函数

2 矩阵函数

、矩阵函数的定义 定义设幂级数∑ckz收敛半径为,且当 =0 zr时幂级数收敛于(z,即 ∫(x)=∑Ckx,|zkr =0 如果A∈C满足r(4)<r,则称收敛的矩阵幂级 数∑ak4的和为矩阵函数记为(4)即 =0

定义 设幂级数  收敛半径为r,且当  k=0 k k c z f z c z z r k k =  k   = ( ) , | | 0 如 果AC nn 满 足r(A)  r,则称收敛的矩阵幂级 数 的和为矩阵函数,记 为 ( ),即 0 a A f A k k  k  = |z| r时,幂级数收敛于f (z),即 一、矩阵函数的定义

f(4)=∑k4, k=0 把f(4)的方阵换为4t,t为参数则得到 f(4t)=∑ck(An)k =0 常用的矩阵函数: ()e4=∑1∧k,A∈C n =0 ! k (2)sinA=∑ (-1) 2/+1 ∈Cxn k=0(2k+1)!

常用的矩阵函数： ( ) , 0 =   k= k f A ck A n n k A k A A C k e   = =  ,  ! 1 (1) 0 n n k k k A A C k A   = +   + − = , (2 1)! ( 1) (2) sin 0 2 1 把 f (A)的方阵A换为At, t为参数,则得到 ( ) ( ) . 0 =   k= k f At ck At

(3)cosA=∑ (-1)A2k,A ∈Cn×n k=0(2k)! k (4)(E-A)=∑A,r(4)<1 =0 k (5)m(E+A=∑ + A+H,r(A4)<1 k=0k+1 二、矩阵函数值的计算 l、利用相似对角化: 设PAP=dig(1,12,…,n)=D

(4) ( ) , ( ) 1 0 1 − =    = − E A A r A k k , ( ) 1 1 ( 1) (5) ln( ) 0 1   + − + =  = + A r A k E A k k k 二、矩阵函数值的计算 1、利用相似对角化: P AP = diag n = D − ( , , , ) 1 2 1 设     n n k k k A A C k A   =   − = , (2 )! ( 1) (3) cos 0 2

f(A)=∑k4=∑ck(PDP)P|∑cD4p1 =0 k=0 =0 ∑CkA1 k =0 =PI P ∑CkA k=0 f(n1) P ∫(n)

=   =0 ( ) k k f A ck A =   = − 0 1 ( ) k k ck PDP 1 0 −  =         = P c D P k k k 1 0 0 1 −  =  =                   = P c c P k k k n k k k    1 1 ( ) ( ) −           = P f f P n  