2复数项级数收敛的条件 定理级数∑zn=∑(xn+i)收敛的充要条件是 ∑xn和∑n都收敛 证Sn=∑=∑ Xk+乙=on+ivn k=1 级数∑收敛台{n}收敛兮如和{}都收敛 : 台∑x,和∑yn都收敛 说明复数项级数的审敛问题 (定理) 实数项级数的审敛问题
2.复数项级数收敛的条件 证 = = = = = + n k k n k k n k n k s z x i y 1 1 1 , n n = + i ( ) 1 1 级 数 收敛的充要条件是 = = = + n n n n n z x i y . 1 1 和 都收敛 = = n n n n x y 定理 {sn }收敛 { n }和{ n }都收敛 . 1 1 = = n n n n x 和 y 都收敛 1 = 级数 收敛 n n z 说明 复数项级数的审敛问题 实数项级数的审敛问题 (定理) 则
例2级数∑1+是否收敛? n co 1ti2n+l co 解∑ ∑ 1+(-1)"i n=1 ∑+∑(-1 n n=1 因为级数∑发散,虽∑(1)收敛 n n= 原级数仍发散
例2 1 1 2 1 级数 是否收敛？ = + + n n ni 解 = = + + − = + 1 1 2 1 1 1 ( 1) n n n n n i ni , 11 因为级数 发散 n= n 原级数仍发散. , 1 ( 1) 1 虽 收敛 = − n n n = = 1 1 n n = + − 1 1 ( 1) n n n i
课堂练习 (1)级数∑(1+)是否收敛? n 因为∑x,=∑发散 所以原级 ∑n=∑立收敛 数发散 n (2)级数∑2(+)是否收敛? n=i n 因为∑xn=∑立收敛 n=1 所以原级 ∑n=∑、收敛 数收敛 n=1 n=l
; 1 1 1 因为 发散 = = = n n n n x . 1 1 2 1 收敛 = = = n n n n y 所以原级 数发散. 课堂练习 1 1 (2) (1 ) n i n n = + 级数 2 是否收敛？ 所以原级 数收敛. (1 ) 1 1 级数 是否收敛？ = + n n i n (1) ; 1 1 2 1 因为 收敛 = = = n n n n x . 1 1 3 1 收敛 = = = n n n n y
级数收敛的必要条件 因为实数项级数x和∑y收敛的必要条件是 imxn=0和 lim y=0 所以复数项级数∑x收敛的必要条件是 H=1 重要结论: lim zn≠0→级数∑乙发散 n
= =1 n 1 n n n 因为实数项级数 x 和 y 收敛的必要条件是 lim = 0 lim = 0 . → → n n n n x 和 y lim = 0 → n n z 级数收敛的必要条件 重要结论: lim 0 . 1 级 数 发 散 = → n n n n z z 所以复数项级数 收敛的必要条件是 n=1 n z
例如级数∑e": n-=1 因为mzn,=lime"≠0, n n→o 不满足必要条件,所以原级数发散 启示:判别级数的敛散性时,可先考察 lim z号0 imzn≠0,级数发散; n→0 如果 limz.=0,应进一步判断 n→0
, : 1 n= in 例如 级数 e lim = lim 0, → → in n n n 因为 z e 不满足必要条件, 所以原级数发散. 启示: 判别级数的敛散性时, 可先考察 lim = 0 → n n z ? → lim 0, n n z 如 果 级数发散; lim = 0, 应进一步判断. → n n z