例1下列数列是否收敛,如果收敛,求出其极限 (1)zn=(1+-)e";(2)n= cosin T 解(1)因为n=(1+)e"=(1+n)cos+ isin-) 所以xn=(1+)cos",yn=(1+-)sin n 而 limx=1,imyn=0.数列收敛,且 lime=1 n→0 n→0 n→0 n (2)由于zn= n cosin= nle te 当n→∞时,n→>0,所以数列发散
n i n e n z ) 1 (1)因 为 = (1+ 下列数列是否收敛, 如果收敛, 求出其极限. ) ; 1 (1) (1 n i n e n z = + )sin . 1 (1 n n yn , = + π )cos 1 (1 n n 所以xn = + 而 lim = 1 , lim = 0. → → n n n n x y 解 例1 )(cos sin ), 1 (1 n i n n + = + (2) z ncosin . n = 数列收敛, lim = 1 . → n n 且 z (2) 2 ( ) cos n n n n e e z n i n − + 由 于 = = 当 n → 时, 所以数列发散. → , n z
课堂练习 下列数列是否收敛?如果收敛,求出其极限 1+ni (1) n 2n 十 1-nin 1+n 1+n ai→-1(m→0) (2)zn=(-1)+; n+1 发散 nTt (3)zn=-e cos sIn n 2 2 >0(→>∞)
课堂练习: 下列数列是否收敛? 如果收敛, 求出其极限. ; 1 1 (1) ni ni zn − + = ; 1 (2) ( 1) + = − + n i z n n . 1 (3) 2 n i n e n z − = i n n n n zn 2 2 2 1 2 1 1 + + + − = → −1(n → ). 发散 2 sin 1 2 cos 1 n n i n n zn = − → 0 (n → )
、复数项级数的概念 1.定义设{n}={xn+yn}(n=1,2,)为一复数列 表达式∑zn z,=孔1十z十…+Z,+ 称为复数项无穷级数 部分和其最前面n项的和Sn=1+22+…+Zn 称为级数的部分和
二、复数项级数的概念 1.定义 设{z } = {x + y }(n = 1,2, )为一复数列, n n n = + ++ + = n n n z z z z 1 2 1 表达式 称为复数项无穷级数. 其最前面 n 项的和 n n s = z + z ++ z 1 2 称为级数的部分和. 部分和
收敛与发散 如果部分和数列{Sn}收敛,那么级数∑z收敛 H=1 并且极限lmsn=s称为级数的和 如果部分和数列sn}不收敛那么级数∑发散 hE 说明 与实数项级数相同,判别复数项级数敛散 性的基本方法是: 利用极限 lim s=s n→0
收敛与发散 如果部分和数列{ }收敛, n s , 1 那么级数 收 敛 n= n z 并且极限lim s s 称为级数的和. n n = → 说明: lim s s. n n = → 利用极限 与实数项级数相同, 判别复数项级数敛散 性的基本方法是: 如果部分和数列{ }不收敛, n s . 1 那么级数 发 散 n= n z
例如级数∑": n=0 Sn=1+z+z2+…+z1= (z≠1) 由于当<1时,imsn=im~2"_1 所以当z<1时级数收敛
, : 0 n= n 例如 级数 z 2 -1 1 n n s = + z + z ++ z 由于当 z 1时, ( 1), 1 1 − − = z z z n z z s n n n n − − = → → 1 1 lim lim , 1 1 − z = 所以当 z 1时级数收敛