数学分析-返回

那么5-5≤b,-a,→0. 即=5,惟一性得证推论设([an,bnl是一个区间套，5[an,b,l,n=1,2,.…..则任给ε>0, 存在 N,当 n≥N时,[a,,b,lcU(5; 8)证由区间套定理的证明可得：lima, =limb, = Enn-80由极限的保号性，对于任意正数ε，存在N后页返回前页

前页 后页 返回 证 由区间套定理的证明可得: lim lim . n n n n a b  → → = = 由极限的保号性, 对于任意正数  , 存在 N, 1 那么   −  − → 1 b a n n 0. 即  = , . 惟一性得证 [ , ] ( ; ). n n a b U    n = 1, 2, . 则任给 > 0, 存在 N, 当 n  N 时, 推论 设 {[an ,bn ]} 是一个区间套, [ , ], n n   a b

当n≥N时,有5-6<a,,b,<5+6即-<a,≤b,<5+8,这就是说[an, b,Ic(5 -8, 5+),注1该推论有着很强的应用价值，请大家务必牢记注2区间套定理中的闭区间若改为开区间，那么结(0元),显然论不一定成立.例如对于开区间列后页返回前页

前页 后页 返回 n n [ , ] ( , ). a b  − +     注1 该推论有着很强的应用价值,请大家务必牢记 .注2 区间套定理中的闭区间若改为开区间, 那么结 论不一定成立. 例如对于开区间列 , 显然 1 0 n             ， 当 时 有 n N  , , . n n     −   + a b n n 即     −    + a b , 这就是说

1. (0,)-(0-), -1,. ",m(10)-0.2. 1但是定理1中的是不存在的,这是因为0(0)-0.(按照定理1的读者可以反思一下，对于证明过程，哪一步通不过？后页返回前页

前页 后页 返回 但是定理1中的是不存在的, 这是因为 1 1 0, . n n  =     =    证明过程, 哪一步通不过? 1 1 1. 0, 0, , 1, 2, , 1 n n n          =     + 1 2. lim 0 0. n→ n     − =   1 0 , 1 n             读者可以反思一下,对于 ， 按照定理 的

作为区间套定理的应用，下面来证明柯西收敛准则，即证明数列a，收敛的充要条件是：对任意的ε>0,存在N,当m,n>N时,有a,-am<s证(必要性)设lima,=A,由数列极限的定义，n对于任意正数 ε,存在N>0,m,n>N时,有88<am-A<an-A122因而有la,-am<a, -A+am-A<s.前页后页返回

前页 后页 返回 对于任意正数 存在 时 有  , 0, , , N m n N   . 2 , 2   an − A  am − A  n m n m 因而有 a a a A a A −  − + −   . 作为区间套定理的应用, 下面来证明柯西收敛准 则,即证明数列 {an } 收敛的充要条件是: 对任意的 证 (必要性) lim , , n n a A → 设 由数列极限的定义 = , , . m n N a a n m  > 0, 存在 N, 当 时 有  −  

(iii) Vk e N.,当n ≥ N, 时,a, e[a,b,].由区间套定理,存在惟一的e[ar,b,].由定理1的推论，对于任意ε>0,存在k，使[ak,b, Ic(5 -,5 +e),由性质 3,当 n> N,时,a, [ak,b,Ic(5-,5+e),所以a,-<8.这就证明了lima, = 5.n-00后页返回前页

前页 后页 返回 0 0 [ , ] ( , ), k k a b  − +     n 所以 这就证明了 a −    . 0 3, , 由性质 当 时 n N  k 0 0 [ , ] ( , ), n k k a a b   − +     k k 由区间套定理 存在惟一的 , [ , ].   a b 由定理1的 + (iii) N , , [ , ]. k n k k     k n N a a b 当 时 k0 推论， 对于任意 存在 使   0, , lim . n n a  → =