综上，矩阵的初等变换不改变矩阵的行秩与列秩。 定理：矩阵的行秩=矩阵的列秩 证：任何矩阵A都可经过初等变换变为 形式 而它的行秩为r,列秩也为r。 又，初等变换不改变矩阵的行秩与列秩， 所以，A的行秩=r=A的列秩 定义2.4.2：矩阵的行秩和列秩，统称为矩阵的秩。 记为R(A),或秩A。显然R(A)满足≤R(A)≤min{m,. 若A为n阶方阵，R(A)=n,则称A为满秩矩阵。 推论：若矩阵A~B,则R(A)=R(B)
综上，矩阵的初等变换不改变矩阵的行秩与列秩。 定理：矩阵的行秩＝矩阵的列秩 证：任何矩阵A都可经过初等变换变为 0 0 0 E r 形式， 而它的行秩为r，列秩也为r。 又，初等变换不改变矩阵的行秩与列秩， 所以，A的行秩＝r＝A的列秩 定义2.4.2：矩阵的行秩和列秩，统称为矩阵的秩。 记为R(A), 或秩A。显然R(A)满足： 推论：若矩阵A~B, 则R(A)=R(B). 若A为n阶方阵，R(A)=n,则称A为满秩矩阵。 0 ( ) min{ , }. R A m n
2.矩阵秩的求法 行最简形矩阵： ① 0 -10 4 例如： 0① -1 0 3 =B 0 0 0 ① -3 00 00 注：对于任何矩阵，总可以经过有限次初等行变换把它变 为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵。 显然：B的行秩为3，R(B)=3 结论：行阶梯形矩阵的秩=非零行的行数
行最简形矩阵： 1 0 1 0 4 0 1 1 0 3 0 0 0 1 3 0 0 0 0 0 B − − = − 例如： 注：对于任何矩阵，总可以经过有限次初等行变换把它变 为 行阶梯形矩阵和行最简形矩阵。 显然: B的行秩为3, R(B)=3 结论：行阶梯形矩阵的秩＝非零行的行数 2. 矩阵秩的求法
求矩阵秩的方法： 把矩阵用初等行变换变成行阶梯形矩阵，则行阶梯形 矩阵中非零行的行数就是原来矩阵的秩。 33 0 5 0 -2 3 6 -1 例2：A= 2 0 1 5 -3 求A的秩。 -4 -1 320 1 6 -4 -1 3-2 3 -2 3 6 20 2 0 1 5 1 6 3 2 上页
求矩阵秩的方法： 把矩阵用初等行变换变成行阶梯形矩阵，则行阶梯形 矩阵中非零行的行数就是原来矩阵的秩。 例2: 3 2 0 5 0 3 2 3 6 1 2 0 1 5 3 1 6 4 1 4 A − − = − − − 求A的秩。 − − − − − = 1 6 4 1 4 2 0 1 5 3 3 2 3 6 1 3 2 0 5 0 A − − − − − 3 2 0 5 0 2 0 1 5 3 3 2 3 6 1 1 6 4 1 4 1 4 r r
6 -4 -1 4 1 6 -1 2-4 3 -2 3 6 -1 0 -4 3 1 -1 2 0 1 5 -3 3-21 0 -12 9 7 -11 3 2 0 5 0 4-3r 0 -16 12 8-12 1 6 -4 -1 4 5-3 0 -4 3 1 -1 0 0 0 4 -8 4-4 0 0 0 4 -8 6 4 -1 4 由阶梯形矩阵有 4-3 0 -4 3 1 -1 0 0 0 4 -8 三个非零行可知 0 0 0 0 0 R(A)=3. 回
− − − − − − − − 0 16 12 8 12 0 12 9 7 11 0 4 3 1 1 1 6 4 1 4 2 4 r − r 4 1 3 1 3 2 r r r r − − − − − − − − 0 0 0 4 8 0 0 0 4 8 0 4 3 1 1 1 6 4 1 4 − − − − − 0 0 0 0 0 0 0 0 4 8 0 4 3 1 1 1 6 4 1 4 由阶梯形矩阵有 三个非零行可知 R(A) = 3. 3 3 2 r − r 4 4 2 r − r 4 3 r − r − − − − − 3 2 0 5 0 2 0 1 5 3 3 2 3 6 1 1 6 4 1 4
©少本理工大军 3.向量组的极大无关组的求法 (1)向量组a1,02,.,a,作列向量构成矩阵A。 (2) A 初等行变换 B(阶梯形矩阵or行最简形矩阵) R(A)=B的非零行的行数 (3)求出B的列向量组的极大无关组 (4) A中与B的列向量组的极大无关组相对应部分的列向量组 即为A的极大无关组
3. 向量组的极大无关组的求法. （1）向量组 1 2 , , , s 作列向量构成矩阵A。 （2） A B ⎯⎯→ 初等行变换 （阶梯形矩阵or行最简形矩阵） R(A)=B的非零行的行数 （3）求出B的列向量组的极大无关组 （4）A中与B的列向量组的极大无关组相对应部分的列向量组 即为A的极大无关组